Sr Examen

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Integral de dx/(tg(x)*cos^2(x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                  
  /                  
 |                   
 |        1          
 |  -------------- dx
 |            2      
 |  tan(x)*cos (x)   
 |                   
/                    
0                    
011cos2(x)tan(x)dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}\, dx
Integral(1/(tan(x)*cos(x)^2), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sec2(x)tan(x)=tan(x)sec2(x)sec2(x)1\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} = \frac{\tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}}{\sec^{2}{\left(x \right)} - 1}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sec2(x)1u = \sec^{2}{\left(x \right)} - 1.

      Luego que du=2tan(x)sec2(x)dxdu = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      12udu\int \frac{1}{2 u}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        1udu=1udu2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: log(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log(sec2(x)1)2\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}

    Método #2

    1. que u=sec2(x)u = \sec^{2}{\left(x \right)}.

      Luego que du=2tan(x)sec2(x)dxdu = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      12u2du\int \frac{1}{2 u - 2}\, du

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=2u2u = 2 u - 2.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          12udu\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            1udu=1udu2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(2u2)2\frac{\log{\left(2 u - 2 \right)}}{2}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          12u2=12(u1)\frac{1}{2 u - 2} = \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          12(u1)du=1u1du2\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}

          1. que u=u1u = u - 1.

            Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log(u1)\log{\left(u - 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log(u1)2\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log(2sec2(x)2)2\frac{\log{\left(2 \sec^{2}{\left(x \right)} - 2 \right)}}{2}

    Método #3

    1. que u=sec(x)u = \sec{\left(x \right)}.

      Luego que du=tan(x)sec(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      uu21du\int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        uu21du=2uu21du2\int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} - 1}\, du}{2}

        1. que u=u21u = u^{2} - 1.

          Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          12udu\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(u21)\log{\left(u^{2} - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log(u21)2\frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log(sec2(x)1)2\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}

  3. Ahora simplificar:

    log(tan2(x))2\frac{\log{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2}

  4. Añadimos la constante de integración:

    log(tan2(x))2+constant\frac{\log{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

log(tan2(x))2+constant\frac{\log{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                         
 |                            /        2   \
 |       1                 log\-1 + sec (x)/
 | -------------- dx = C + -----------------
 |           2                     2        
 | tan(x)*cos (x)                           
 |                                          
/                                           
1cos2(x)tan(x)dx=C+log(sec2(x)1)2\int \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}\, dx = C + \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90020000
Respuesta [src]
     pi*I
oo - ----
      2  
iπ2\infty - \frac{i \pi}{2}
=
=
     pi*I
oo - ----
      2  
iπ2\infty - \frac{i \pi}{2}
oo - pi*i/2
Respuesta numérica [src]
44.5334688581098
44.5334688581098

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.