Integral de dx/(tg(x)*cos^2(x)) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} = \frac{\tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}}{\sec^{2}{\left(x \right)} - 1}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sec^{2}{\left(x \right)} - 1$.

      Luego que $du = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{2 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}$

   Método #2

   1. que $u = \sec^{2}{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{2 u - 2}\, du$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 2 u - 2$.

            Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(2 u - 2 \right)}}{2}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{2 u - 2} = \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}$

            1. que $u = u - 1$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(2 \sec^{2}{\left(x \right)} - 2 \right)}}{2}$

   Método #3

   1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} - 1}\, du}{2}$

         1. que $u = u^{2} - 1$.

            Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(u^{2} - 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$