Integral de sqr(2e^(2t)+2) dt

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{2 t}$.

      Luego que $du = 2 e^{2 t} dt$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{2 u^{2} + 4 u + 2}{u}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2 u^{2} + 4 u + 2}{u} = 2 u + 4 + \frac{2}{u}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 4\, du = 4 u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$

         El resultado es: $u^{2} + 4 u + 2 \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $e^{4 t} + 4 e^{2 t} + 2 \log{\left(e^{2 t} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 e^{2 t} + 2\right)^{2} = 4 e^{4 t} + 8 e^{2 t} + 4$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 e^{4 t}\, dt = 4 \int e^{4 t}\, dt$

         1. que $u = 4 t$.

            Luego que $du = 4 dt$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{4 t}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $e^{4 t}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 e^{2 t}\, dt = 8 \int e^{2 t}\, dt$

         1. que $u = 2 t$.

            Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{2 t}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 e^{2 t}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4\, dt = 4 t$

      El resultado es: $4 t + e^{4 t} + 4 e^{2 t}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 e^{2 t} + 2\right)^{2} = 4 e^{4 t} + 8 e^{2 t} + 4$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 e^{4 t}\, dt = 4 \int e^{4 t}\, dt$

         1. que $u = 4 t$.

            Luego que $du = 4 dt$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{4 t}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $e^{4 t}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 e^{2 t}\, dt = 8 \int e^{2 t}\, dt$

         1. que $u = 2 t$.

            Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{2 t}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 e^{2 t}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4\, dt = 4 t$

      El resultado es: $4 t + e^{4 t} + 4 e^{2 t}$

2. Ahora simplificar:

   $e^{4 t} + 4 e^{2 t} + 2 \log{\left(e^{2 t} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $e^{4 t} + 4 e^{2 t} + 2 \log{\left(e^{2 t} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$e^{4 t} + 4 e^{2 t} + 2 \log{\left(e^{2 t} \right)}+ \mathrm{constant}$