Integral de (e^(x+y)-y)dx+(xe^(x+y)+1) dy

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = x + y$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int e^{u}\, du$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $e^{x + y}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $e^{x + y} = e^{x} e^{y}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int e^{x} e^{y}\, dx = e^{y} \int e^{x}\, dx$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $e^{x} e^{y}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(- y\right)\, dx = - x y$

      El resultado es: $- x y + e^{x + y}$

   1. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $e^{x + y} x = x e^{x} e^{y}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int x e^{x} e^{y}\, dx = e^{y} \int x e^{x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\left(x e^{x} - e^{x}\right) e^{y}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $x + \left(x e^{x} - e^{x}\right) e^{y}$

   El resultado es: $- x y + x + \left(x e^{x} - e^{x}\right) e^{y} + e^{x + y}$

2. Ahora simplificar:

   $x \left(- y + e^{x + y} + 1\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \left(- y + e^{x + y} + 1\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \left(- y + e^{x + y} + 1\right)+ \mathrm{constant}$