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Resolución de integrales/ sqrtx/ x^2-1/ sqrt(x^2-1)+6/(sqrtx^2-1)

Integral de sqrt(x^2-1)+6/(sqrtx^2-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                              
  /                              
 |                               
 |  /   ________             \   
 |  |  /  2            6     |   
 |  |\/  x  - 1  + ----------| dx
 |  |                   2    |   
 |  |                ___     |   
 |  \              \/ x   - 1/   
 |                               
/                                
0
∫01(x2−1+6(x)2−1) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\sqrt{x^{2} - 1} + \frac{6}{\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 1}\right)\, dx 
Integral(sqrt(x^2 - 1) + 6/((sqrt(x))^2 - 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      xx2−12−acosh⁡(x)2\frac{x \sqrt{x^{2} - 1}}{2} - \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫6(x)2−1 dx=6∫1(x)2−1 dx\int \frac{6}{\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 1}\, dx = 6 \int \frac{1}{\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 1}\, dx

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=(x)2−1u = \left(\sqrt{x}\right)^{2} - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡((x)2−1)\log{\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 1 \right)}

        Método #2

        1. que u=xu = \sqrt{x}.

          Luego que du=dx2xdu = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} y ponemos 2du2 du:

          ∫2uu2−1 du\int \frac{2 u}{u^{2} - 1}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫uu2−1 du=2∫uu2−1 du\int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du = 2 \int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫uu2−1 du=∫2uu2−1 du2\int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} - 1}\, du}{2}

              1. que u=u2−1u = u^{2} - 1.

                Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u2−1)\log{\left(u^{2} - 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u2−1)2\frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u2−1)\log{\left(u^{2} - 1 \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 6log⁡((x)2−1)6 \log{\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 1 \right)}

    El resultado es: xx2−12+6log⁡((x)2−1)−acosh⁡(x)2\frac{x \sqrt{x^{2} - 1}}{2} + 6 \log{\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 1 \right)} - \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    xx2−12+6log⁡(x−1)−acosh⁡(x)2\frac{x \sqrt{x^{2} - 1}}{2} + 6 \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    xx2−12+6log⁡(x−1)−acosh⁡(x)2+constant\frac{x \sqrt{x^{2} - 1}}{2} + 6 \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xx2−12+6log⁡(x−1)−acosh⁡(x)2+constant\frac{x \sqrt{x^{2} - 1}}{2} + 6 \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                 
 |                                                                         _________
 | /   ________             \               /     2    \                  /       2 
 | |  /  2            6     |               |  ___     |   acosh(x)   x*\/  -1 + x  
 | |\/  x  - 1  + ----------| dx = C + 6*log\\/ x   - 1/ - -------- + --------------
 | |                   2    |                                 2             2       
 | |                ___     |                                                       
 | \              \/ x   - 1/                                                       
 |                                                                                  
/
∫(x2−1+6(x)2−1) dx=C+xx2−12+6log⁡((x)2−1)−acosh⁡(x)2\int \left(\sqrt{x^{2} - 1} + \frac{6}{\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 1}\right)\, dx = C + \frac{x \sqrt{x^{2} - 1}}{2} + 6 \log{\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 1 \right)} - \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
1.0000000.9997250.9997500.9997750.9998000.9998250.9998500.9998750.9999000.9999250.9999500.9999750.02-0.02
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
      23*pi*I
-oo - -------
         4
−∞−23iπ4-\infty - \frac{23 i \pi}{4} 
=
= 
      23*pi*I
-oo - -------
         4
−∞−23iπ4-\infty - \frac{23 i \pi}{4} 
-oo - 23*pi*i/4
Respuesta numérica [src] 
(-264.545319147131 + 0.785398163397448j)
(-264.545319147131 + 0.785398163397448j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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