Integral de x/((sqrt(2x+1))+1) dx

1. que $u = \sqrt{2 x + 1}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{\sqrt{2 x + 1}}$ y ponemos $du$:

   $\int \frac{u \left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right)}{u + 1}\, du$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u \left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right)}{u + 1} = \frac{u^{2}}{2} - \frac{u}{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{6}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{4}$

         El resultado es: $\frac{u^{3}}{6} - \frac{u^{2}}{4}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u \left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right)}{u + 1} = \frac{u^{3}}{2 \left(u + 1\right)} - \frac{u}{2 \left(u + 1\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{3}}{2 \left(u + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{u^{3}}{u + 1}\, du}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u^{3}}{u + 1} = u^{2} - u + 1 - \frac{1}{u + 1}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

                  1. que $u = u + 1$.

                     Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(u + 1 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u + 1 \right)}$

               El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{2}}{2} + u - \log{\left(u + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{6} - \frac{u^{2}}{4} + \frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{u}{2 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{u}{u + 1}\, du}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

                  1. que $u = u + 1$.

                     Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(u + 1 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u + 1 \right)}$

               El resultado es: $u - \log{\left(u + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{3}}{6} - \frac{u^{2}}{4}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{x}{2} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{1}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{x}{2} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{1}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x}{2} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{1}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x}{2} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{1}{4}+ \mathrm{constant}$