Integral de x*(cos(x)-sin(x)) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $x \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = - x \sin{\left(x \right)} + x \cos{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- x \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int x \sin{\left(x \right)}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del seno es un coseno menos:

      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

   El resultado es: $x \sin{\left(x \right)} + x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $\sqrt{2} \left(x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\sqrt{2} \left(x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt{2} \left(x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)+ \mathrm{constant}$