Integral de x*ln(2x+2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \log{\left(2 x + 2 \right)} = x \log{\left(x + 1 \right)} + x \log{\left(2 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 1}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{2}}{2 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x + 1}\, dx}{2}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x^{2}}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

            1. que $u = x + 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x + 1 \right)}$

            El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left(x + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int x \log{\left(2 \right)}\, dx = \log{\left(2 \right)} \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{2}$

      El resultado es: $\frac{x^{2} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x + 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{2 x + 2}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{2 x + 2} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, dx = - \frac{x}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}$

         1. que $u = x + 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

      El resultado es: $\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$