Integral de cos^4(7x)*sin(7x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \cos{\left(7 x \right)}$.

      Luego que $du = - 7 \sin{\left(7 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{7}$:

      $\int \left(- \frac{u^{4}}{7}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{4}\, du = - \frac{\int u^{4}\, du}{7}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{35}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos^{5}{\left(7 x \right)}}{35}$

   Método #2

   1. que $u = 7 x$.

      Luego que $du = 7 dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)} \cos^{4}{\left(u \right)}}{7}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)} \cos^{4}{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)} \cos^{4}{\left(u \right)}\, du}{7}$

         1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{4}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{5}{\left(u \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos^{5}{\left(u \right)}}{35}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos^{5}{\left(7 x \right)}}{35}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\cos^{5}{\left(7 x \right)}}{35}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\cos^{5}{\left(7 x \right)}}{35}+ \mathrm{constant}$