Integral de 1/(5x+2*sqrt(x)) dx

1. que $u = \sqrt{x}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

   $\int \frac{2}{5 u + 2}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{1}{5 u + 2}\, du = 2 \int \frac{1}{5 u + 2}\, du$

      1. que $u = 5 u + 2$.

         Luego que $du = 5 du$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{1}{5 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(5 u + 2 \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(5 u + 2 \right)}}{5}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{2 \log{\left(5 \sqrt{x} + 2 \right)}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \log{\left(5 \sqrt{x} + 2 \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \log{\left(5 \sqrt{x} + 2 \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$