Integral de (x^2-x+1)dx/x^4+2x^2-3 dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{2}\, dx = 2 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3}$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = - x$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{u^{2} + u + 1}{u^{4}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u^{2} + u + 1}{u^{4}}\, du = - \int \frac{u^{2} + u + 1}{u^{4}}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u^{2} + u + 1}{u^{4}} = \frac{1}{u^{2}} + \frac{1}{u^{3}} + \frac{1}{u^{4}}$

               2. Integramos término a término:

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                  El resultado es: $- \frac{1}{u} - \frac{1}{2 u^{2}} - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u} + \frac{1}{2 u^{2}} + \frac{1}{3 u^{3}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{1}{3 x^{3}}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{\left(x^{2} - x\right) + 1}{x^{4}} = \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{x^{3}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{2 x^{2}}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{x^{4}}\, dx = - \frac{1}{3 x^{3}}$

            El resultado es: $- \frac{1}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{1}{3 x^{3}}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3} - \frac{1}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{1}{3 x^{3}}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \left(-3\right)\, dx = - 3 x$

   El resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3} - 3 x - \frac{1}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{1}{3 x^{3}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{4 x^{6} - 18 x^{4} - 6 x^{2} + 3 x - 2}{6 x^{3}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 x^{6} - 18 x^{4} - 6 x^{2} + 3 x - 2}{6 x^{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 x^{6} - 18 x^{4} - 6 x^{2} + 3 x - 2}{6 x^{3}}+ \mathrm{constant}$