Integral de (7x^2+5x)cosx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(7 x^{2} + 5 x\right) \cos{\left(x \right)} = 7 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 5 x \cos{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7 x^{2} \cos{\left(x \right)}\, dx = 7 \int x^{2} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = 2 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $7 x^{2} \sin{\left(x \right)} + 14 x \cos{\left(x \right)} - 14 \sin{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x \cos{\left(x \right)}\, dx = 5 \int x \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 x \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}$

      El resultado es: $7 x^{2} \sin{\left(x \right)} + 5 x \sin{\left(x \right)} + 14 x \cos{\left(x \right)} - 14 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x \left(7 x + 5\right)$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 14 x + 5$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = 14 x + 5$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 14$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 14 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 14 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 14 \sin{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $7 x^{2} \sin{\left(x \right)} + 5 x \sin{\left(x \right)} + 14 x \cos{\left(x \right)} - 14 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$7 x^{2} \sin{\left(x \right)} + 5 x \sin{\left(x \right)} + 14 x \cos{\left(x \right)} - 14 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$