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Resolución de integrales/ sin^4/ cos^3/ cosx-cos^3x/sin^4x

Integral de cosx-cos^3x/sin^4x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
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 |                       
 |  /            3   \   
 |  |         cos (x)|   
 |  |cos(x) - -------| dx
 |  |            4   |   
 |  \         sin (x)/   
 |                       
/                        
0
∫01(cos⁡(x)−cos⁡3(x)sin⁡4(x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}\right)\, dx 
Integral(cos(x) - cos(x)^3/sin(x)^4, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del coseno es seno:

      ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−cos⁡3(x)sin⁡4(x)) dx=−∫cos⁡3(x)sin⁡4(x) dx\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡3(x)sin⁡4(x)=(1−sin⁡2(x))cos⁡(x)sin⁡4(x)\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u2−1u4) du\int \left(- \frac{u^{2} - 1}{u^{4}}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2−1u4 du=−∫u2−1u4 du\int \frac{u^{2} - 1}{u^{4}}\, du = - \int \frac{u^{2} - 1}{u^{4}}\, du

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              u2−1u4=1u2−1u4\frac{u^{2} - 1}{u^{4}} = \frac{1}{u^{2}} - \frac{1}{u^{4}}

            2. Integramos término a término:

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−1u4) du=−∫1u4 du\int \left(- \frac{1}{u^{4}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{4}}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                Por lo tanto, el resultado es: 13u3\frac{1}{3 u^{3}}

              El resultado es: −1u+13u3- \frac{1}{u} + \frac{1}{3 u^{3}}

            Por lo tanto, el resultado es: 1u−13u3\frac{1}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          1sin⁡(x)−13sin⁡3(x)\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{1}{3 \sin^{3}{\left(x \right)}}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−sin⁡2(x))cos⁡(x)sin⁡4(x)=−sin⁡2(x)cos⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡4(x)\frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}} = - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡2(x)cos⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡4(x)) dx=−∫sin⁡2(x)cos⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡4(x) dx\int \left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}\, dx

          1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u2−1u4 du\int \frac{u^{2} - 1}{u^{4}}\, du

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              u2−1u4=1u2−1u4\frac{u^{2} - 1}{u^{4}} = \frac{1}{u^{2}} - \frac{1}{u^{4}}

            2. Integramos término a término:

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−1u4) du=−∫1u4 du\int \left(- \frac{1}{u^{4}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{4}}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                Por lo tanto, el resultado es: 13u3\frac{1}{3 u^{3}}

              El resultado es: −1u+13u3- \frac{1}{u} + \frac{1}{3 u^{3}}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −1sin⁡(x)+13sin⁡3(x)- \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{1}{3 \sin^{3}{\left(x \right)}}

          Por lo tanto, el resultado es: 1sin⁡(x)−13sin⁡3(x)\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{1}{3 \sin^{3}{\left(x \right)}}

        Método #3

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−sin⁡2(x))cos⁡(x)sin⁡4(x)=−cos⁡(x)sin⁡2(x)+cos⁡(x)sin⁡4(x)\frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(x)sin⁡2(x)) dx=−∫cos⁡(x)sin⁡2(x) dx\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx

            1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

              Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

              ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −1sin⁡(x)- \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}

            Por lo tanto, el resultado es: 1sin⁡(x)\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}

          1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫1u4 du\int \frac{1}{u^{4}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −13sin⁡3(x)- \frac{1}{3 \sin^{3}{\left(x \right)}}

          El resultado es: 1sin⁡(x)−13sin⁡3(x)\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{1}{3 \sin^{3}{\left(x \right)}}

      Por lo tanto, el resultado es: −1sin⁡(x)+13sin⁡3(x)- \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{1}{3 \sin^{3}{\left(x \right)}}

    El resultado es: sin⁡(x)−1sin⁡(x)+13sin⁡3(x)\sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{1}{3 \sin^{3}{\left(x \right)}}

  2. Añadimos la constante de integración:

    sin⁡(x)−1sin⁡(x)+13sin⁡3(x)+constant\sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{1}{3 \sin^{3}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

sin⁡(x)−1sin⁡(x)+13sin⁡3(x)+constant\sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{1}{3 \sin^{3}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 | /            3   \                                     
 | |         cos (x)|            1          1             
 | |cos(x) - -------| dx = C - ------ + --------- + sin(x)
 | |            4   |          sin(x)        3            
 | \         sin (x)/                   3*sin (x)         
 |                                                        
/
∫(cos⁡(x)−cos⁡3(x)sin⁡4(x)) dx=C+sin⁡(x)−1sin⁡(x)+13sin⁡3(x)\int \left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}\right)\, dx = C + \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{1}{3 \sin^{3}{\left(x \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-100000000000000005000000000000000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-oo
−∞-\infty 
=
= 
-oo
−∞-\infty 
-oo
Respuesta numérica [src] 
-7.81431122445857e+56
-7.81431122445857e+56

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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