Integral de x^2*cbrt(6-x) dx

1. que $u = \sqrt[3]{6 - x}$.

   Luego que $du = - \frac{dx}{3 \left(6 - x\right)^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

   $\int \left(3 \left(6 - u^{3}\right)^{3} - 18 \left(6 - u^{3}\right)^{2}\right)\, du$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \left(6 - u^{3}\right)^{3}\, du = 3 \int \left(6 - u^{3}\right)^{3}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(6 - u^{3}\right)^{3} = - u^{9} + 18 u^{6} - 108 u^{3} + 216$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{9}\right)\, du = - \int u^{9}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{10}}{10}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 18 u^{6}\, du = 18 \int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{18 u^{7}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 108 u^{3}\right)\, du = - 108 \int u^{3}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 27 u^{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 216\, du = 216 u$

            El resultado es: $- \frac{u^{10}}{10} + \frac{18 u^{7}}{7} - 27 u^{4} + 216 u$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{10}}{10} + \frac{54 u^{7}}{7} - 81 u^{4} + 648 u$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 18 \left(6 - u^{3}\right)^{2}\right)\, du = - 18 \int \left(6 - u^{3}\right)^{2}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(6 - u^{3}\right)^{2} = u^{6} - 12 u^{3} + 36$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 12 u^{3}\right)\, du = - 12 \int u^{3}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 3 u^{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 36\, du = 36 u$

            El resultado es: $\frac{u^{7}}{7} - 3 u^{4} + 36 u$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{18 u^{7}}{7} + 54 u^{4} - 648 u$

      El resultado es: $- \frac{3 u^{10}}{10} + \frac{36 u^{7}}{7} - 27 u^{4}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{3 \left(6 - x\right)^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{36 \left(6 - x\right)^{\frac{7}{3}}}{7} - 27 \left(6 - x\right)^{\frac{4}{3}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \left(6 - x\right)^{\frac{4}{3}} \left(- 120 x - 7 \left(6 - x\right)^{2} + 90\right)}{70}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \left(6 - x\right)^{\frac{4}{3}} \left(- 120 x - 7 \left(6 - x\right)^{2} + 90\right)}{70}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \left(6 - x\right)^{\frac{4}{3}} \left(- 120 x - 7 \left(6 - x\right)^{2} + 90\right)}{70}+ \mathrm{constant}$