Integral de x(pi-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u^{2} + \pi u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u \pi\, du = \pi \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2} \pi}{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} + \frac{u^{2} \pi}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{x^{3}}{3} + \frac{\pi x^{2}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(\pi - x\right) = - x^{2} + \pi x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \pi x\, dx = \pi \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\pi x^{2}}{2}$

      El resultado es: $- \frac{x^{3}}{3} + \frac{\pi x^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $x^{2} \left(- \frac{x}{3} + \frac{\pi}{2}\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x^{2} \left(- \frac{x}{3} + \frac{\pi}{2}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{2} \left(- \frac{x}{3} + \frac{\pi}{2}\right)+ \mathrm{constant}$