Integral de exp(-y)+y*exp(-y)+(y*y/2)*exp(-y) dy
Solución
Solución detallada
Integramos término a término:
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
que u = − y u = - y u = − y .
Luego que d u = − d y du = - dy d u = − d y y ponemos − d u 2 - \frac{du}{2} − 2 d u :
∫ ( − u 2 e u 2 ) d u \int \left(- \frac{u^{2} e^{u}}{2}\right)\, du ∫ ( − 2 u 2 e u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ u 2 e u d u = − ∫ u 2 e u d u 2 \int u^{2} e^{u}\, du = - \frac{\int u^{2} e^{u}\, du}{2} ∫ u 2 e u d u = − 2 ∫ u 2 e u d u
Usamos la integración por partes:
∫ u dv = u v − ∫ v du \int \operatorname{u} \operatorname{dv}
= \operatorname{u}\operatorname{v} -
\int \operatorname{v} \operatorname{du} ∫ u dv = u v − ∫ v du
que u ( u ) = u 2 u{\left(u \right)} = u^{2} u ( u ) = u 2 y que dv ( u ) = e u \operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u} dv ( u ) = e u .
Entonces du ( u ) = 2 u \operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u du ( u ) = 2 u .
Para buscar v ( u ) v{\left(u \right)} v ( u ) :
La integral de la función exponencial es la mesma.
∫ e u d u = e u \int e^{u}\, du = e^{u} ∫ e u d u = e u
Ahora resolvemos podintegral.
Usamos la integración por partes:
∫ u dv = u v − ∫ v du \int \operatorname{u} \operatorname{dv}
= \operatorname{u}\operatorname{v} -
\int \operatorname{v} \operatorname{du} ∫ u dv = u v − ∫ v du
que u ( u ) = 2 u u{\left(u \right)} = 2 u u ( u ) = 2 u y que dv ( u ) = e u \operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u} dv ( u ) = e u .
Entonces du ( u ) = 2 \operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 du ( u ) = 2 .
Para buscar v ( u ) v{\left(u \right)} v ( u ) :
La integral de la función exponencial es la mesma.
∫ e u d u = e u \int e^{u}\, du = e^{u} ∫ e u d u = e u
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 2 e u d u = 2 ∫ e u d u \int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du ∫ 2 e u d u = 2 ∫ e u d u
La integral de la función exponencial es la mesma.
∫ e u d u = e u \int e^{u}\, du = e^{u} ∫ e u d u = e u
Por lo tanto, el resultado es: 2 e u 2 e^{u} 2 e u
Por lo tanto, el resultado es: − u 2 e u 2 + u e u − e u - \frac{u^{2} e^{u}}{2} + u e^{u} - e^{u} − 2 u 2 e u + u e u − e u
Si ahora sustituir u u u más en:
− y 2 e − y 2 − y e − y − e − y - \frac{y^{2} e^{- y}}{2} - y e^{- y} - e^{- y} − 2 y 2 e − y − y e − y − e − y
Método #2
Usamos la integración por partes:
∫ u dv = u v − ∫ v du \int \operatorname{u} \operatorname{dv}
= \operatorname{u}\operatorname{v} -
\int \operatorname{v} \operatorname{du} ∫ u dv = u v − ∫ v du
que u ( y ) = y 2 2 u{\left(y \right)} = \frac{y^{2}}{2} u ( y ) = 2 y 2 y que dv ( y ) = e − y \operatorname{dv}{\left(y \right)} = e^{- y} dv ( y ) = e − y .
Entonces du ( y ) = y \operatorname{du}{\left(y \right)} = y du ( y ) = y .
Para buscar v ( y ) v{\left(y \right)} v ( y ) :
que u = − y u = - y u = − y .
Luego que d u = − d y du = - dy d u = − d y y ponemos − d u - du − d u :
∫ ( − e u ) d u \int \left(- e^{u}\right)\, du ∫ ( − e u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
False \text{False} False
La integral de la función exponencial es la mesma.
∫ e u d u = e u \int e^{u}\, du = e^{u} ∫ e u d u = e u
Por lo tanto, el resultado es: − e u - e^{u} − e u
Si ahora sustituir u u u más en:
− e − y - e^{- y} − e − y
Ahora resolvemos podintegral.
Usamos la integración por partes:
∫ u dv = u v − ∫ v du \int \operatorname{u} \operatorname{dv}
= \operatorname{u}\operatorname{v} -
\int \operatorname{v} \operatorname{du} ∫ u dv = u v − ∫ v du
que u ( y ) = − y u{\left(y \right)} = - y u ( y ) = − y y que dv ( y ) = e − y \operatorname{dv}{\left(y \right)} = e^{- y} dv ( y ) = e − y .
Entonces du ( y ) = − 1 \operatorname{du}{\left(y \right)} = -1 du ( y ) = − 1 .
Para buscar v ( y ) v{\left(y \right)} v ( y ) :
que u = − y u = - y u = − y .
Luego que d u = − d y du = - dy d u = − d y y ponemos − d u - du − d u :
∫ ( − e u ) d u \int \left(- e^{u}\right)\, du ∫ ( − e u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
False \text{False} False
La integral de la función exponencial es la mesma.
∫ e u d u = e u \int e^{u}\, du = e^{u} ∫ e u d u = e u
Por lo tanto, el resultado es: − e u - e^{u} − e u
Si ahora sustituir u u u más en:
− e − y - e^{- y} − e − y
Ahora resolvemos podintegral.
que u = − y u = - y u = − y .
Luego que d u = − d y du = - dy d u = − d y y ponemos − d u - du − d u :
∫ ( − e u ) d u \int \left(- e^{u}\right)\, du ∫ ( − e u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
False \text{False} False
La integral de la función exponencial es la mesma.
∫ e u d u = e u \int e^{u}\, du = e^{u} ∫ e u d u = e u
Por lo tanto, el resultado es: − e u - e^{u} − e u
Si ahora sustituir u u u más en:
− e − y - e^{- y} − e − y
Integramos término a término:
que u = − y u = - y u = − y .
Luego que d u = − d y du = - dy d u = − d y y ponemos d u du d u :
∫ u e u d u \int u e^{u}\, du ∫ u e u d u
Usamos la integración por partes:
∫ u dv = u v − ∫ v du \int \operatorname{u} \operatorname{dv}
= \operatorname{u}\operatorname{v} -
\int \operatorname{v} \operatorname{du} ∫ u dv = u v − ∫ v du
que u ( u ) = u u{\left(u \right)} = u u ( u ) = u y que dv ( u ) = e u \operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u} dv ( u ) = e u .
Entonces du ( u ) = 1 \operatorname{du}{\left(u \right)} = 1 du ( u ) = 1 .
Para buscar v ( u ) v{\left(u \right)} v ( u ) :
La integral de la función exponencial es la mesma.
∫ e u d u = e u \int e^{u}\, du = e^{u} ∫ e u d u = e u
Ahora resolvemos podintegral.
La integral de la función exponencial es la mesma.
∫ e u d u = e u \int e^{u}\, du = e^{u} ∫ e u d u = e u
Si ahora sustituir u u u más en:
− y e − y − e − y - y e^{- y} - e^{- y} − y e − y − e − y
que u = − y u = - y u = − y .
Luego que d u = − d y du = - dy d u = − d y y ponemos − d u - du − d u :
∫ ( − e u ) d u \int \left(- e^{u}\right)\, du ∫ ( − e u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
False \text{False} False
La integral de la función exponencial es la mesma.
∫ e u d u = e u \int e^{u}\, du = e^{u} ∫ e u d u = e u
Por lo tanto, el resultado es: − e u - e^{u} − e u
Si ahora sustituir u u u más en:
− e − y - e^{- y} − e − y
El resultado es: − y e − y − 2 e − y - y e^{- y} - 2 e^{- y} − y e − y − 2 e − y
El resultado es: − y 2 e − y 2 − 2 y e − y − 3 e − y - \frac{y^{2} e^{- y}}{2} - 2 y e^{- y} - 3 e^{- y} − 2 y 2 e − y − 2 y e − y − 3 e − y
Ahora simplificar:
− ( y 2 + 4 y + 6 ) e − y 2 - \frac{\left(y^{2} + 4 y + 6\right) e^{- y}}{2} − 2 ( y 2 + 4 y + 6 ) e − y
Añadimos la constante de integración:
− ( y 2 + 4 y + 6 ) e − y 2 + c o n s t a n t - \frac{\left(y^{2} + 4 y + 6\right) e^{- y}}{2}+ \mathrm{constant} − 2 ( y 2 + 4 y + 6 ) e − y + constant
Respuesta:
− ( y 2 + 4 y + 6 ) e − y 2 + c o n s t a n t - \frac{\left(y^{2} + 4 y + 6\right) e^{- y}}{2}+ \mathrm{constant} − 2 ( y 2 + 4 y + 6 ) e − y + constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/
| 2 -y
| / -y -y y*y -y\ -y -y y *e
| |e + y*e + ---*e | dy = C - 3*e - 2*y*e - ------
| \ 2 / 2
|
/
∫ ( y y 2 e − y + ( y e − y + e − y ) ) d y = C − y 2 e − y 2 − 2 y e − y − 3 e − y \int \left(\frac{y y}{2} e^{- y} + \left(y e^{- y} + e^{- y}\right)\right)\, dy = C - \frac{y^{2} e^{- y}}{2} - 2 y e^{- y} - 3 e^{- y} ∫ ( 2 yy e − y + ( y e − y + e − y ) ) d y = C − 2 y 2 e − y − 2 y e − y − 3 e − y
Gráfica
0.00 3.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 5 -5
3 − 27 2 e 3 3 - \frac{27}{2 e^{3}} 3 − 2 e 3 27
=
3 − 27 2 e 3 3 - \frac{27}{2 e^{3}} 3 − 2 e 3 27
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.