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Resolución de integrales/ exp(-y)+y*exp(-y)+(y*y/2)*exp(-y)

Integral de exp(-y)+y*exp(-y)+(y*y/2)*exp(-y) dy

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  3                           
  /                           
 |                            
 |  / -y      -y   y*y  -y\   
 |  |e   + y*e   + ---*e  | dy
 |  \               2     /   
 |                            
/                             
0
∫03(yy2e−y+(ye−y+e−y)) dy\int\limits_{0}^{3} \left(\frac{y y}{2} e^{- y} + \left(y e^{- y} + e^{- y}\right)\right)\, dy 
Integral(exp(-y) + y*exp(-y) + ((y*y)/2)*exp(-y), (y, 0, 3))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=−yu = - y.

        Luego que du=−dydu = - dy y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

        ∫(−u2eu2) du\int \left(- \frac{u^{2} e^{u}}{2}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2eu du=−∫u2eu du2\int u^{2} e^{u}\, du = - \frac{\int u^{2} e^{u}\, du}{2}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=2uu{\left(u \right)} = 2 u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2eu du=2∫eu du\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −u2eu2+ueu−eu- \frac{u^{2} e^{u}}{2} + u e^{u} - e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −y2e−y2−ye−y−e−y- \frac{y^{2} e^{- y}}{2} - y e^{- y} - e^{- y}

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(y)=y22u{\left(y \right)} = \frac{y^{2}}{2} y que dv⁡(y)=e−y\operatorname{dv}{\left(y \right)} = e^{- y}.

        Entonces du⁡(y)=y\operatorname{du}{\left(y \right)} = y.

        Para buscar v(y)v{\left(y \right)}:

        1. que u=−yu = - y.

          Luego que du=−dydu = - dy y ponemos −du- du:

          ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−y- e^{- y}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(y)=−yu{\left(y \right)} = - y y que dv⁡(y)=e−y\operatorname{dv}{\left(y \right)} = e^{- y}.

        Entonces du⁡(y)=−1\operatorname{du}{\left(y \right)} = -1.

        Para buscar v(y)v{\left(y \right)}:

        1. que u=−yu = - y.

          Luego que du=−dydu = - dy y ponemos −du- du:

          ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−y- e^{- y}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. que u=−yu = - y.

        Luego que du=−dydu = - dy y ponemos −du- du:

        ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −e−y- e^{- y}

    1. Integramos término a término:

      1. que u=−yu = - y.

        Luego que du=−dydu = - dy y ponemos dudu:

        ∫ueu du\int u e^{u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de la función exponencial es la mesma.

          ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −ye−y−e−y- y e^{- y} - e^{- y}

      1. que u=−yu = - y.

        Luego que du=−dydu = - dy y ponemos −du- du:

        ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −e−y- e^{- y}

      El resultado es: −ye−y−2e−y- y e^{- y} - 2 e^{- y}

    El resultado es: −y2e−y2−2ye−y−3e−y- \frac{y^{2} e^{- y}}{2} - 2 y e^{- y} - 3 e^{- y}

  2. Ahora simplificar:

    −(y2+4y+6)e−y2- \frac{\left(y^{2} + 4 y + 6\right) e^{- y}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −(y2+4y+6)e−y2+constant- \frac{\left(y^{2} + 4 y + 6\right) e^{- y}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−(y2+4y+6)e−y2+constant- \frac{\left(y^{2} + 4 y + 6\right) e^{- y}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                         
 |                                                     2  -y
 | / -y      -y   y*y  -y\             -y        -y   y *e  
 | |e   + y*e   + ---*e  | dy = C - 3*e   - 2*y*e   - ------
 | \               2     /                              2   
 |                                                          
/
∫(yy2e−y+(ye−y+e−y)) dy=C−y2e−y2−2ye−y−3e−y\int \left(\frac{y y}{2} e^{- y} + \left(y e^{- y} + e^{- y}\right)\right)\, dy = C - \frac{y^{2} e^{- y}}{2} - 2 y e^{- y} - 3 e^{- y}
Simplificar
Gráfica
0.003.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.755-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
        -3
    27*e  
3 - ------
      2
3−272e33 - \frac{27}{2 e^{3}} 
=
= 
        -3
    27*e  
3 - ------
      2
3−272e33 - \frac{27}{2 e^{3}} 
3 - 27*exp(-3)/2
Respuesta numérica [src] 
2.32787457703384
2.32787457703384

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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