Integral de -log(x)/(3*x^2) dx

1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

   $\int \left(- \frac{u e^{- u}}{3}\right)\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int u e^{- u}\, du = - \frac{\int u e^{- u}\, du}{3}$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = - u$.

            Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- u e^{- u} - e^{- u}$

         Método #2

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = - u$.

               Luego que $du = - du$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- e^{- u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- e^{- u}\right)\, du = - \int e^{- u}\, du$

            1. que $u = - u$.

               Luego que $du = - du$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- e^{- u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $e^{- u}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u e^{- u}}{3} + \frac{e^{- u}}{3}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{\log{\left(x \right)}}{3 x} + \frac{1}{3 x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{3 x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{3 x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{3 x}+ \mathrm{constant}$