Integral de (5x+4)^9*dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 5 x + 4$.

      Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{u^{9}}{5}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{9}\, du = \frac{\int u^{9}\, du}{5}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{10}}{50}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(5 x + 4\right)^{10}}{50}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(5 x + 4\right)^{9} = 1953125 x^{9} + 14062500 x^{8} + 45000000 x^{7} + 84000000 x^{6} + 100800000 x^{5} + 80640000 x^{4} + 43008000 x^{3} + 14745600 x^{2} + 2949120 x + 262144$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1953125 x^{9}\, dx = 1953125 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{390625 x^{10}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 14062500 x^{8}\, dx = 14062500 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1562500 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 45000000 x^{7}\, dx = 45000000 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5625000 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 84000000 x^{6}\, dx = 84000000 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $12000000 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 100800000 x^{5}\, dx = 100800000 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $16800000 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 80640000 x^{4}\, dx = 80640000 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $16128000 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 43008000 x^{3}\, dx = 43008000 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $10752000 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 14745600 x^{2}\, dx = 14745600 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4915200 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2949120 x\, dx = 2949120 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1474560 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 262144\, dx = 262144 x$

      El resultado es: $\frac{390625 x^{10}}{2} + 1562500 x^{9} + 5625000 x^{8} + 12000000 x^{7} + 16800000 x^{6} + 16128000 x^{5} + 10752000 x^{4} + 4915200 x^{3} + 1474560 x^{2} + 262144 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(5 x + 4\right)^{10}}{50}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(5 x + 4\right)^{10}}{50}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(5 x + 4\right)^{10}}{50}+ \mathrm{constant}$