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Resolución de integrales/ cosx^2/ (1+tgx)^3/cosx^2

Integral de (1+tgx)^3/cosx^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
  /                 
 |                  
 |              3   
 |  (1 + tan(x))    
 |  ------------- dx
 |        2         
 |     cos (x)      
 |                  
/                   
0
∫01(tan⁡(x)+1)3cos⁡2(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(\tan{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral((1 + tan(x))^3/cos(x)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (tan⁡(x)+1)3cos⁡2(x)=tan⁡3(x)+3tan⁡2(x)+3tan⁡(x)+1cos⁡2(x)\frac{\left(\tan{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\tan^{3}{\left(x \right)} + 3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 3 \tan{\left(x \right)} + 1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      tan⁡3(x)+3tan⁡2(x)+3tan⁡(x)+1cos⁡2(x)=tan⁡3(x)cos⁡2(x)+3tan⁡2(x)cos⁡2(x)+3tan⁡(x)cos⁡2(x)+1cos⁡2(x)\frac{\tan^{3}{\left(x \right)} + 3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 3 \tan{\left(x \right)} + 1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3 \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3 \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

    3. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        tan⁡3(x)sec⁡2(x)=(sec⁡2(x)−1)tan⁡(x)sec⁡2(x)\tan^{3}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}

      2. que u=sec⁡2(x)u = \sec^{2}{\left(x \right)}.

        Luego que du=2tan⁡(x)sec⁡2(x)dxdu = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫(u2−12) du\int \left(\frac{u}{2} - \frac{1}{2}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=∫u du2\int \frac{u}{2}\, du = \frac{\int u\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: u24\frac{u^{2}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−12) du=−u2\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, du = - \frac{u}{2}

          El resultado es: u24−u2\frac{u^{2}}{4} - \frac{u}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)2\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3tan⁡2(x)cos⁡2(x) dx=3∫tan⁡2(x)cos⁡2(x) dx\int \frac{3 \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx = 3 \int \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          −sin⁡(x)3cos⁡(x)+sin⁡(x)3cos⁡3(x)- \frac{\sin{\left(x \right)}}{3 \cos{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)cos⁡3(x)- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3tan⁡(x)cos⁡2(x) dx=3∫tan⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \frac{3 \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx = 3 \int \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          12cos⁡2(x)\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: 32cos⁡2(x)\frac{3}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

      El resultado es: sin⁡(x)cos⁡3(x)+sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)2+32cos⁡2(x)\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{3}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (tan⁡(x)+1)3cos⁡2(x)=tan⁡3(x)cos⁡2(x)+3tan⁡2(x)cos⁡2(x)+3tan⁡(x)cos⁡2(x)+1cos⁡2(x)\frac{\left(\tan{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3 \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3 \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        tan⁡3(x)sec⁡2(x)=(sec⁡2(x)−1)tan⁡(x)sec⁡2(x)\tan^{3}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}

      2. que u=sec⁡2(x)u = \sec^{2}{\left(x \right)}.

        Luego que du=2tan⁡(x)sec⁡2(x)dxdu = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫(u2−12) du\int \left(\frac{u}{2} - \frac{1}{2}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=∫u du2\int \frac{u}{2}\, du = \frac{\int u\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: u24\frac{u^{2}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−12) du=−u2\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, du = - \frac{u}{2}

          El resultado es: u24−u2\frac{u^{2}}{4} - \frac{u}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)2\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3tan⁡2(x)cos⁡2(x) dx=3∫tan⁡2(x)cos⁡2(x) dx\int \frac{3 \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx = 3 \int \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          −sin⁡(x)3cos⁡(x)+sin⁡(x)3cos⁡3(x)- \frac{\sin{\left(x \right)}}{3 \cos{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)cos⁡3(x)- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3tan⁡(x)cos⁡2(x) dx=3∫tan⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \frac{3 \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx = 3 \int \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          12cos⁡2(x)\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: 32cos⁡2(x)\frac{3}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

      El resultado es: sin⁡(x)cos⁡3(x)+sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)2+32cos⁡2(x)\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{3}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}

  2. Ahora simplificar:

    22sin⁡(2x+π4)+34cos⁡4(x)\frac{2 \sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} + 3}{4 \cos^{4}{\left(x \right)}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    22sin⁡(2x+π4)+34cos⁡4(x)+constant\frac{2 \sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} + 3}{4 \cos^{4}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

22sin⁡(2x+π4)+34cos⁡4(x)+constant\frac{2 \sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} + 3}{4 \cos^{4}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                              
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 |             3             2         4                         
 | (1 + tan(x))           sec (x)   sec (x)       3        sin(x)
 | ------------- dx = C - ------- + ------- + --------- + -------
 |       2                   2         4           2         3   
 |    cos (x)                                 2*cos (x)   cos (x)
 |                                                               
/
∫(tan⁡(x)+1)3cos⁡2(x) dx=C+sin⁡(x)cos⁡3(x)+sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)2+32cos⁡2(x)\int \frac{\left(\tan{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx = C + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{3}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}
Simplificar
Respuesta [src] 
         2         4                         
  5   sec (1)   sec (1)       3        sin(1)
- - - ------- + ------- + --------- + -------
  4      2         4           2         3   
                          2*cos (1)   cos (1)
−sec⁡2(1)2−54+sec⁡4(1)4+32cos⁡2(1)+sin⁡(1)cos⁡3(1)- \frac{\sec^{2}{\left(1 \right)}}{2} - \frac{5}{4} + \frac{\sec^{4}{\left(1 \right)}}{4} + \frac{3}{2 \cos^{2}{\left(1 \right)}} + \frac{\sin{\left(1 \right)}}{\cos^{3}{\left(1 \right)}} 
=
= 
         2         4                         
  5   sec (1)   sec (1)       3        sin(1)
- - - ------- + ------- + --------- + -------
  4      2         4           2         3   
                          2*cos (1)   cos (1)
−sec⁡2(1)2−54+sec⁡4(1)4+32cos⁡2(1)+sin⁡(1)cos⁡3(1)- \frac{\sec^{2}{\left(1 \right)}}{2} - \frac{5}{4} + \frac{\sec^{4}{\left(1 \right)}}{4} + \frac{3}{2 \cos^{2}{\left(1 \right)}} + \frac{\sin{\left(1 \right)}}{\cos^{3}{\left(1 \right)}} 
-5/4 - sec(1)^2/2 + sec(1)^4/4 + 3/(2*cos(1)^2) + sin(1)/cos(1)^3
Respuesta numérica [src] 
10.4439930912415
10.4439930912415

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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