Integral de 7^(sin*3*x)*cos*3*x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sin{\left(3 x \right)}$.

      Luego que $du = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{7^{u}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7^{u}\, du = \frac{\int 7^{u}\, du}{3}$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 7^{u}\, du = \frac{7^{u}}{\log{\left(7 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7^{u}}{3 \log{\left(7 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{7^{\sin{\left(3 x \right)}}}{3 \log{\left(7 \right)}}$

   Método #2

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{7^{\sin{\left(u \right)}} \cos{\left(u \right)}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7^{\sin{\left(u \right)}} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int 7^{\sin{\left(u \right)}} \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

         1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

            $\int 7^{u}\, du$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 7^{u}\, du = \frac{7^{u}}{\log{\left(7 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{7^{\sin{\left(u \right)}}}{\log{\left(7 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7^{\sin{\left(u \right)}}}{3 \log{\left(7 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{7^{\sin{\left(3 x \right)}}}{3 \log{\left(7 \right)}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{7^{\sin{\left(3 x \right)}}}{3 \log{\left(7 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{7^{\sin{\left(3 x \right)}}}{3 \log{\left(7 \right)}}+ \mathrm{constant}$