Integral de 6/5*sqrt(4x+2)+1/cos^2(5x) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{6 \sqrt{4 x + 2}}{5}\, dx = \frac{6 \int \sqrt{4 x + 2}\, dx}{5}$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 4 x + 2$.

            Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{\sqrt{u}}{4}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{4}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(4 x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{6}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sqrt{4 x + 2} = \sqrt{2} \sqrt{2 x + 1}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{2} \sqrt{2 x + 1}\, dx = \sqrt{2} \int \sqrt{2 x + 1}\, dx$

            1. que $u = 2 x + 1$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\sqrt{u}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} \left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(4 x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{5}$

   1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      $\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5 \cos{\left(5 x \right)}}$

   El resultado es: $\frac{\left(4 x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{5} + \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5 \cos{\left(5 x \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{2} \left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{5} + \frac{\tan{\left(5 x \right)}}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{2} \left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{5} + \frac{\tan{\left(5 x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{2} \left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{5} + \frac{\tan{\left(5 x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$