Integral de 4/x^2(1-2/x)dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 - \frac{2}{x}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{x^{2}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 u\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = 2 \int u\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\left(1 - \frac{2}{x}\right)^{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \frac{2}{x}\right) \frac{4}{x^{2}} = \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4}{x^{2}}\, dx = 4 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{8}{x^{3}}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4}{x^{2}}$

      El resultado es: $- \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \frac{2}{x}\right) \frac{4}{x^{2}} = \frac{4 x - 8}{x^{3}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{4 x - 8}{x^{3}} = \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4}{x^{2}}\, dx = 4 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{8}{x^{3}}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4}{x^{2}}$

      El resultado es: $- \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}$

   Método #4

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \frac{2}{x}\right) \frac{4}{x^{2}} = - \frac{8}{x x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{8}{x x^{2}}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x x^{2}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{2 x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4}{x^{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4}{x^{2}}\, dx = 4 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{x}$

      El resultado es: $- \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x^{2}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x^{2}}+ \mathrm{constant}$