Sr Examen

Integral de ln(lnx)/x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  2               
 e                
  /               
 |                
 |  log(log(x))   
 |  ----------- dx
 |       x        
 |                
/                 
E                 
ee2log(log(x))xdx\int\limits_{e}^{e^{2}} \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx
Integral(log(log(x))/x, (x, E, exp(2)))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log(log(x))u = \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}.

      Luego que du=dxxlog(x)du = \frac{dx}{x \log{\left(x \right)}} y ponemos dudu:

      ueudu\int u e^{u}\, du

      1. Usamos la integración por partes:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

        Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. La integral de la función exponencial es la mesma.

          eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de la función exponencial es la mesma.

        eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log(x)log(log(x))log(x)\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \log{\left(x \right)}

    Método #2

    1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      log(u)du\int \log{\left(u \right)}\, du

      1. Usamos la integración por partes:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=log(u)u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)} y que dv(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

        Entonces du(u)=1u\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          1du=u\int 1\, du = u

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        1du=u\int 1\, du = u

      Si ahora sustituir uu más en:

      log(x)log(log(x))log(x)\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \log{\left(x \right)}

    Método #3

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos du- du:

      (log(log(1u))u)du\int \left(- \frac{\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        log(log(1u))udu=log(log(1u))udu\int \frac{\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\, du

        1. que u=log(log(1u))u = \log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}.

          Luego que du=duulog(1u)du = - \frac{du}{u \log{\left(\frac{1}{u} \right)}} y ponemos du- du:

          (ueu)du\int \left(- u e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ueudu=ueudu\int u e^{u}\, du = - \int u e^{u}\, du

            1. Usamos la integración por partes:

              udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

              Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de la función exponencial es la mesma.

              eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: ueu+eu- u e^{u} + e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(1u)log(log(1u))+log(1u)- \log{\left(\frac{1}{u} \right)} \log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} + \log{\left(\frac{1}{u} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log(1u)log(log(1u))log(1u)\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log(x)log(log(x))log(x)\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \log{\left(x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    (log(log(x))1)log(x)\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (log(log(x))1)log(x)+constant\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

(log(log(x))1)log(x)+constant\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                
 |                                                 
 | log(log(x))                                     
 | ----------- dx = C - log(x) + log(x)*log(log(x))
 |      x                                          
 |                                                 
/                                                  
log(log(x))xdx=C+log(x)log(log(x))log(x)\int \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx = C + \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \log{\left(x \right)}
Gráfica
3.03.54.04.55.05.56.06.57.01-2
Respuesta [src]
-1 + 2*log(2)
1+2log(2)-1 + 2 \log{\left(2 \right)}
=
=
-1 + 2*log(2)
1+2log(2)-1 + 2 \log{\left(2 \right)}
-1 + 2*log(2)
Respuesta numérica [src]
0.386294361119891
0.386294361119891

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.