Integral de 1-sin(x)-cos(x) dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\cos{\left(x \right)}$

      El resultado es: $x + \cos{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)}$

   El resultado es: $x - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $x + \sqrt{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x + \sqrt{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x + \sqrt{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$