Integral de -x^3*(exp(3*x^4))*(2*x^4+3) dx

1. que $u = x^{4}$.

   Luego que $du = 4 x^{3} dx$ y ponemos $du$:

   $\int \left(- \frac{u e^{3 u}}{2} - \frac{3 e^{3 u}}{4}\right)\, du$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{u e^{3 u}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u e^{3 u}\, du}{2}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 3 u$.

               Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 u}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}$

            1. que $u = 3 u$.

               Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 u}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{3 u}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u e^{3 u}}{6} + \frac{e^{3 u}}{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{3 e^{3 u}}{4}\right)\, du = - \frac{3 \int e^{3 u}\, du}{4}$

         1. que $u = 3 u$.

            Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{3 u}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{3 u}}{4}$

      El resultado es: $- \frac{u e^{3 u}}{6} - \frac{7 e^{3 u}}{36}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{x^{4} e^{3 x^{4}}}{6} - \frac{7 e^{3 x^{4}}}{36}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(6 x^{4} + 7\right) e^{3 x^{4}}}{36}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(6 x^{4} + 7\right) e^{3 x^{4}}}{36}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(6 x^{4} + 7\right) e^{3 x^{4}}}{36}+ \mathrm{constant}$