Sr Examen

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Otras calculadoras

¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de x/((2*x))
Integral de x/(2x+1)^(1/2)
Integral de x^2*sqrt(3-x^3)
Integral de x^2/(x^6-1)
Expresiones idénticas
cos^ cuatro (x)sin^ dos (x)
coseno de en el grado 4(x) seno de al cuadrado (x)
coseno de en el grado cuatro (x) seno de en el grado dos (x)
cos4(x)sin2(x)
cos4xsin2x
cos⁴(x)sin²(x)
cos en el grado 4(x)sin en el grado 2(x)
cos^4xsin^2x
cos^4(x)sin^2(x)dx
Expresiones con funciones
Coseno cos
cos(x)^5/sin(x)^2
cos(x)^7
cos(x)^-4
cos(x)^3*sin(2x)
cos(x)^2/(senx-1)^2
Seno sin
sin(x)*dx/(5+4*sin(x))
sin(x)cosx
sin(x)*cos(x)^3
sin(x)/cos(x+1)
sin(x)cos^2xdx

Resolución de integrales/ sin^2/ cos^4/ cos^4(x)sin^2(x)

Integral de cos^4(x)sin^2(x) dx

Solución

Ha introducido [src]

 157                  
 ---                  
 100                  
  /                   
 |                    
 |     4       2      
 |  cos (x)*sin (x) dx
 |                    
/                     
0

$$\int\limits_{0}^{\frac{157}{100}} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$$

Integral(cos(x)^4*sin(x)^2, (x, 0, 157/100))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = 2 x$ .
  
  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{16} + \frac{1}{16}\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}$
      
      que $u = \sin{\left(u \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{16}\, du = \frac{u}{16}$
    El resultado es: $\frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64} + \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = - \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$
    2. que $u = \sin{\left(2 x \right)}$ .
      
      Luego que $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 4 x$ .
      
      Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
    1. que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
  El resultado es: $\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = - \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$
    2. que $u = \sin{\left(2 x \right)}$ .
      
      Luego que $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 4 x$ .
      
      Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
    1. que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
  El resultado es: $\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                  
 |                                             3     
 |    4       2             sin(4*x)   x    sin (2*x)
 | cos (x)*sin (x) dx = C - -------- + -- + ---------
 |                             64      16       48   
/

$$\int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

          5/157\    /157\      /157\    /157\      3/157\    /157\
       cos |---|*sin|---|   cos|---|*sin|---|   cos |---|*sin|---|
157        \100/    \100/      \100/    \100/       \100/    \100/
---- - ------------------ + ----------------- + ------------------
1600           6                    16                  24

$$- \frac{\sin{\left(\frac{157}{100} \right)} \cos^{5}{\left(\frac{157}{100} \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(\frac{157}{100} \right)} \cos^{3}{\left(\frac{157}{100} \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(\frac{157}{100} \right)} \cos{\left(\frac{157}{100} \right)}}{16} + \frac{157}{1600}$$

          5/157\    /157\      /157\    /157\      3/157\    /157\
       cos |---|*sin|---|   cos|---|*sin|---|   cos |---|*sin|---|
157        \100/    \100/      \100/    \100/       \100/    \100/
---- - ------------------ + ----------------- + ------------------
1600           6                    16                  24

157/1600 - cos(157/100)^5*sin(157/100)/6 + cos(157/100)*sin(157/100)/16 + cos(157/100)^3*sin(157/100)/24

Respuesta numérica [src]

0.098174770424681

0.098174770424681

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de cos^4(x)sin^2(x) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3