Integral de 2x×ln(4-x²) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(4 - x^{2} \right)}$.

      Luego que $du = - \frac{2 x dx}{4 - x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- u e^{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u e^{u}\, du = - \int u e^{u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- u e^{u} + e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- x^{2} - \left(4 - x^{2}\right) \log{\left(4 - x^{2} \right)} + 4$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(4 - x^{2} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 2 x$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{4 - x^{2}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{2 x^{3}}{4 - x^{2}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{x^{3}}{4 - x^{2}}\, dx$

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{u}{2 u - 8}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{2 u - 8}\, du = - \int \frac{u}{2 u - 8}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u}{2 u - 8} = \frac{1}{2} + \frac{2}{u - 4}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{2}{u - 4}\, du = 2 \int \frac{1}{u - 4}\, du$

                  1. que $u = u - 4$.

                     Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(u - 4 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u - 4 \right)}$

               El resultado es: $\frac{u}{2} + 2 \log{\left(u - 4 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{2} - 2 \log{\left(u - 4 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{x^{2}}{2} - 2 \log{\left(x^{2} - 4 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} + 4 \log{\left(x^{2} - 4 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- x^{2} + \left(x^{2} - 4\right) \log{\left(4 - x^{2} \right)} + 4$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- x^{2} + \left(x^{2} - 4\right) \log{\left(4 - x^{2} \right)} + 4+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x^{2} + \left(x^{2} - 4\right) \log{\left(4 - x^{2} \right)} + 4+ \mathrm{constant}$