Integral de (1+x^3-5xcbrt(x))/sqrt(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(3 u^{\frac{19}{2}} - 15 u^{\frac{9}{2}} + 3 \sqrt{u}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{\frac{19}{2}}\, du = 3 \int u^{\frac{19}{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{19}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{21}{2}}}{21}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{\frac{21}{2}}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 15 u^{\frac{9}{2}}\right)\, du = - 15 \int u^{\frac{9}{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{9}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{11}{2}}}{11}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{30 u^{\frac{11}{2}}}{11}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 \sqrt{u}\, du = 3 \int \sqrt{u}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{\frac{3}{2}}$

         El resultado es: $\frac{2 u^{\frac{21}{2}}}{7} - \frac{30 u^{\frac{11}{2}}}{11} + 2 u^{\frac{3}{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{30 x^{\frac{11}{6}}}{11} + \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} + 2 \sqrt{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- \sqrt[3]{x} 5 x + \left(x^{3} + 1\right)}{\sqrt{x}} = - \frac{5 x^{\frac{4}{3}}}{\sqrt{x}} + x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{5 x^{\frac{4}{3}}}{\sqrt{x}}\right)\, dx = - 5 \int \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

            $\int \left(- \frac{2}{u^{\frac{14}{3}}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{14}{3}}}\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{\frac{14}{3}}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{\frac{14}{3}}}\, du = - \frac{3}{11 u^{\frac{11}{3}}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6}{11 u^{\frac{11}{3}}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{6 x^{\frac{11}{6}}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{30 x^{\frac{11}{6}}}{11}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{5}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      El resultado es: $- \frac{30 x^{\frac{11}{6}}}{11} + \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} + 2 \sqrt{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{30 x^{\frac{11}{6}}}{11} + \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} + 2 \sqrt{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{30 x^{\frac{11}{6}}}{11} + \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} + 2 \sqrt{x}+ \mathrm{constant}$