Integral de (x^2-3*x+5)*x/sqrt(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u^{6} - 6 u^{4} + 10 u^{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{6}\, du = 2 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{7}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 6 u^{4}\right)\, du = - 6 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 10 u^{2}\, du = 10 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10 u^{3}}{3}$

         El resultado es: $\frac{2 u^{7}}{7} - \frac{6 u^{5}}{5} + \frac{10 u^{3}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 5\right)}{\sqrt{x}} = x^{\frac{5}{2}} - 3 x^{\frac{3}{2}} + 5 \sqrt{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{5}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x^{\frac{3}{2}}\right)\, dx = - 3 \int x^{\frac{3}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 \sqrt{x}\, dx = 5 \int \sqrt{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \left(15 x^{2} - 63 x + 175\right)}{105}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \left(15 x^{2} - 63 x + 175\right)}{105}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \left(15 x^{2} - 63 x + 175\right)}{105}+ \mathrm{constant}$