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Resolución de integrales/ (x)/2/ (x)/3/ cos(x)/ sin(x)/ 1/2sin(x)/2+1/3cos(x)/3

Integral de 1/2sin(x)/2+1/3cos(x)/3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  r                         
  -                         
  2                         
  /                         
 |                          
 |  //sin(x)\   /cos(x)\\   
 |  ||------|   |------||   
 |  |\  2   /   \  3   /|   
 |  |-------- + --------| dx
 |  \   2          3    /   
 |                          
/                           
0
∫0r2(12sin⁡(x)2+13cos⁡(x)3) dx\int\limits_{0}^{\frac{r}{2}} \left(\frac{\frac{1}{2} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\frac{1}{3} \cos{\left(x \right)}}{3}\right)\, dx 
Integral((sin(x)/2)/2 + (cos(x)/3)/3, (x, 0, r/2))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫12sin⁡(x)2 dx=∫sin⁡(x)2 dx2\int \frac{\frac{1}{2} \sin{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\, dx}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(x)2 dx=∫sin⁡(x) dx2\int \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(x \right)}\, dx}{2}

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(x)2- \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(x)4- \frac{\cos{\left(x \right)}}{4}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫13cos⁡(x)3 dx=∫cos⁡(x)3 dx3\int \frac{\frac{1}{3} \cos{\left(x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{3}\, dx}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(x)3 dx=∫cos⁡(x) dx3\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{3}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(x)3\frac{\sin{\left(x \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(x)9\frac{\sin{\left(x \right)}}{9}

    El resultado es: sin⁡(x)9−cos⁡(x)4\frac{\sin{\left(x \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    sin⁡(x)9−cos⁡(x)4+constant\frac{\sin{\left(x \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

sin⁡(x)9−cos⁡(x)4+constant\frac{\sin{\left(x \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                              
 |                                               
 | //sin(x)\   /cos(x)\\                         
 | ||------|   |------||                         
 | |\  2   /   \  3   /|          cos(x)   sin(x)
 | |-------- + --------| dx = C - ------ + ------
 | \   2          3    /            4        9   
 |                                               
/
∫(12sin⁡(x)2+13cos⁡(x)3) dx=C+sin⁡(x)9−cos⁡(x)4\int \left(\frac{\frac{1}{2} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\frac{1}{3} \cos{\left(x \right)}}{3}\right)\, dx = C + \frac{\sin{\left(x \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{4}
Simplificar
Respuesta [src] 
       /r\      /r\
    cos|-|   sin|-|
1      \2/      \2/
- - ------ + ------
4     4        9
sin⁡(r2)9−cos⁡(r2)4+14\frac{\sin{\left(\frac{r}{2} \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(\frac{r}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{4} 
=
= 
       /r\      /r\
    cos|-|   sin|-|
1      \2/      \2/
- - ------ + ------
4     4        9
sin⁡(r2)9−cos⁡(r2)4+14\frac{\sin{\left(\frac{r}{2} \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(\frac{r}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{4} 
1/4 - cos(r/2)/4 + sin(r/2)/9

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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