Integral de sin(4*x)-cos(2*x) dx

1. Integramos término a término:

   1. que $u = 4 x$.

      Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx$

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

   El resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$