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Resolución de integrales/ x^2/2/ x^2*exp(-x^2/2)

Integral de x^2*exp(-x^2/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1            
  /            
 |             
 |        2    
 |      -x     
 |      ----   
 |   2   2     
 |  x *e     dx
 |             
/              
0
∫01x2e(−1)x22 dx\int\limits_{0}^{1} x^{2} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}\, dx 
Integral(x^2*exp((-x^2)/2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=e−x22\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}.

    Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      ErfRule(a=-1/2, b=0, c=0, context=exp(-x**2/2), symbol=x)

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫2πxerf⁡(2x2) dx=2π∫xerf⁡(2x2) dx\int \sqrt{2} \sqrt{\pi} x \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}\, dx = \sqrt{2} \sqrt{\pi} \int x \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}\, dx

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      x2erf⁡(2x2)2+2xe−x222π−erf⁡(2x2)2\frac{x^{2} \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2 \sqrt{\pi}} - \frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2}

    Por lo tanto, el resultado es: 2π(x2erf⁡(2x2)2+2xe−x222π−erf⁡(2x2)2)\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{2} \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2 \sqrt{\pi}} - \frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2}\right)

  3. Ahora simplificar:

    −xe−x22+2πerf⁡(2x2)2- x e^{- \frac{x^{2}}{2}} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2}

  4. Añadimos la constante de integración:

    −xe−x22+2πerf⁡(2x2)2+constant- x e^{- \frac{x^{2}}{2}} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xe−x22+2πerf⁡(2x2)2+constant- x e^{- \frac{x^{2}}{2}} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                
 |                                /                                              2 \                               
 |       2                        |     /    ___\         /    ___\            -x  |                      /    ___\
 |     -x                         |     |x*\/ 2 |    2    |x*\/ 2 |            ----|     ___   ____  2    |x*\/ 2 |
 |     ----                       |  erf|-------|   x *erf|-------|       ___   2  |   \/ 2 *\/ pi *x *erf|-------|
 |  2   2              ___   ____ |     \   2   /         \   2   /   x*\/ 2 *e    |                      \   2   /
 | x *e     dx = C - \/ 2 *\/ pi *|- ------------ + --------------- + -------------| + ----------------------------
 |                                |       2                2                 ____  |                2              
/                                 \                                      2*\/ pi   /
∫x2e(−1)x22 dx=C+2πx2erf⁡(2x2)2−2π(x2erf⁡(2x2)2+2xe−x222π−erf⁡(2x2)2)\int x^{2} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}\, dx = C + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} x^{2} \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2} - \sqrt{2} \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{2} \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2 \sqrt{\pi}} - \frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2}\right)
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.01.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                          /  ___\
            ___   ____    |\/ 2 |
          \/ 2 *\/ pi *erf|-----|
   -1/2                   \  2  /
- e     + -----------------------
                     2
−1e12+2πerf⁡(22)2- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} 
=
= 
                          /  ___\
            ___   ____    |\/ 2 |
          \/ 2 *\/ pi *erf|-----|
   -1/2                   \  2  /
- e     + -----------------------
                     2
−1e12+2πerf⁡(22)2- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} 
-exp(-1/2) + sqrt(2)*sqrt(pi)*erf(sqrt(2)/2)/2
Respuesta numérica [src] 
0.249093732179515
0.249093732179515

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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