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Resolución de integrales/ atan(2*x)

Integral de atan(2*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 1/2            
  /             
 |              
 |  atan(2*x) dx
 |              
/               
0
∫012atan⁡(2x) dx\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral(atan(2*x), (x, 0, 1/2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2xu = 2 x.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫atan⁡(u)2 du\int \frac{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫atan⁡(u) du=∫atan⁡(u) du2\int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du}{2}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=atan⁡(u)u{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

          Entonces du⁡(u)=1u2+1\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫uu2+1 du=∫2uu2+1 du2\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}

          1. que u=u2+1u = u^{2} + 1.

            Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(u2+1)\log{\left(u^{2} + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u2+1)2\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: uatan⁡(u)2−log⁡(u2+1)4\frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} - \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      xatan⁡(2x)−log⁡(4x2+1)4x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=atan⁡(2x)u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

      Entonces du⁡(x)=24x2+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{4 x^{2} + 1}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2x4x2+1 dx=2∫x4x2+1 dx\int \frac{2 x}{4 x^{2} + 1}\, dx = 2 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x4x2+1 dx=∫8x4x2+1 dx8\int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{8 x}{4 x^{2} + 1}\, dx}{8}

        1. que u=4x2+1u = 4 x^{2} + 1.

          Luego que du=8xdxdu = 8 x dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

          ∫18u du\int \frac{1}{8 u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(4x2+1)\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(4x2+1)8\frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{8}

      Por lo tanto, el resultado es: log⁡(4x2+1)4\frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    xatan⁡(2x)−log⁡(4x2+1)4+constantx \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xatan⁡(2x)−log⁡(4x2+1)4+constantx \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                      /       2\              
 |                    log\1 + 4*x /              
 | atan(2*x) dx = C - ------------- + x*atan(2*x)
 |                          4                    
/
∫atan⁡(2x) dx=C+xatan⁡(2x)−log⁡(4x2+1)4\int \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}\, dx = C + x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.000.500.050.100.150.200.250.300.350.400.450.01.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  log(2)   pi
- ------ + --
    4      8
−log⁡(2)4+π8- \frac{\log{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\pi}{8} 
=
= 
  log(2)   pi
- ------ + --
    4      8
−log⁡(2)4+π8- \frac{\log{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\pi}{8} 
-log(2)/4 + pi/8
Respuesta numérica [src] 
0.219412286558738
0.219412286558738

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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