Integral de atan(2*x)/x^4 dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{4}}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{4 x^{2} + 1}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int \frac{1}{x^{4}}\, dx = - \frac{1}{3 x^{3}}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(- \frac{2}{3 x^{3} \left(4 x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{2 \int \frac{1}{x^{3} \left(4 x^{2} + 1\right)}\, dx}{3}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{8 u^{3} + 2 u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{8 u^{3} + 2 u^{2}} = \frac{8}{4 u + 1} - \frac{2}{u} + \frac{1}{2 u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{8}{4 u + 1}\, du = 8 \int \frac{1}{4 u + 1}\, du$

               1. que $u = 4 u + 1$.

                  Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                  $\int \frac{1}{4 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(4 u + 1 \right)}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(4 u + 1 \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{2}{u}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(u \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{2 u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{2 u}$

            El resultado es: $- 2 \log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(4 u + 1 \right)} - \frac{1}{2 u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- 2 \log{\left(x^{2} \right)} + 2 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)} - \frac{1}{2 x^{2}}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{x^{3} \left(4 x^{2} + 1\right)} = \frac{16 x}{4 x^{2} + 1} - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{16 x}{4 x^{2} + 1}\, dx = 16 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{8 x}{4 x^{2} + 1}\, dx}{8}$

               1. que $u = 4 x^{2} + 1$.

                  Luego que $du = 8 x dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

                  $\int \frac{1}{8 u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{4}{x}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x}\, dx$

            1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \log{\left(x \right)}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         El resultado es: $- 4 \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)} - \frac{1}{2 x^{2}}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{x^{3} \left(4 x^{2} + 1\right)} = \frac{1}{4 x^{5} + x^{3}}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{4 x^{5} + x^{3}} = \frac{16 x}{4 x^{2} + 1} - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

      3. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{16 x}{4 x^{2} + 1}\, dx = 16 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{8 x}{4 x^{2} + 1}\, dx}{8}$

               1. que $u = 4 x^{2} + 1$.

                  Luego que $du = 8 x dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

                  $\int \frac{1}{8 u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{4}{x}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x}\, dx$

            1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \log{\left(x \right)}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         El resultado es: $- 4 \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)} - \frac{1}{2 x^{2}}$

      Método #4

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{x^{3} \left(4 x^{2} + 1\right)} = \frac{1}{4 x^{5} + x^{3}}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{4 x^{5} + x^{3}} = \frac{16 x}{4 x^{2} + 1} - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

      3. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{16 x}{4 x^{2} + 1}\, dx = 16 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{8 x}{4 x^{2} + 1}\, dx}{8}$

               1. que $u = 4 x^{2} + 1$.

                  Luego que $du = 8 x dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

                  $\int \frac{1}{8 u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{4}{x}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x}\, dx$

            1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \log{\left(x \right)}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         El resultado es: $- 4 \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)} - \frac{1}{2 x^{2}}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \log{\left(x^{2} \right)}}{3} - \frac{4 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{3} + \frac{1}{3 x^{2}}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{4 x^{3} \left(- \log{\left(x^{2} \right)} + \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}\right) - x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{3 x^{3}}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 x^{3} \left(- \log{\left(x^{2} \right)} + \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}\right) - x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{3 x^{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 x^{3} \left(- \log{\left(x^{2} \right)} + \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}\right) - x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{3 x^{3}}+ \mathrm{constant}$