Integral de cos(3*x)*cos(7*x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} = 256 \cos^{10}{\left(x \right)} - 640 \cos^{8}{\left(x \right)} + 560 \cos^{6}{\left(x \right)} - 196 \cos^{4}{\left(x \right)} + 21 \cos^{2}{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 256 \cos^{10}{\left(x \right)}\, dx = 256 \int \cos^{10}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{10}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{5}$

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{\cos^{5}{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{5 \cos^{4}{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{5 \cos^{3}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{5 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{1}{32}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos^{5}{\left(2 x \right)}}{32}\, dx = \frac{\int \cos^{5}{\left(2 x \right)}\, dx}{32}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{5}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)}$

               2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                  Método #1

                  1. que $u = 2 x$.

                     Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

                     $\int \left(\frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{2} - \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\right)\, du$

                     1. Integramos término a término:

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                           1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

                              Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

                              $\int u^{4}\, du$

                              1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                                 $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                              Si ahora sustituir $u$ más en:

                              $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{5}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{10}$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$

                           1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

                              Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

                              $\int u^{2}\, du$

                              1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                                 $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                              Si ahora sustituir $u$ más en:

                              $\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                           1. La integral del coseno es seno:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                        El resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Método #2

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)} = \sin^{4}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. que $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

                        Luego que $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{u^{4}}{2}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int u^{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{2}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{10}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$

                        1. que $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

                           Luego que $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                           $\int \frac{u^{2}}{2}\, du$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                              1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                                 $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{6}$

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3}$

                     1. que $u = 2 x$.

                        Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                           1. La integral del coseno es seno:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                     El resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Método #3

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)} = \sin^{4}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. que $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

                        Luego que $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{u^{4}}{2}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int u^{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{2}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{10}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$

                        1. que $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

                           Luego que $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                           $\int \frac{u^{2}}{2}\, du$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                              1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                                 $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{6}$

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3}$

                     1. que $u = 2 x$.

                        Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                           1. La integral del coseno es seno:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                     El resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{320} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{96} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{64}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{5 \cos^{4}{\left(2 x \right)}}{32}\, dx = \frac{5 \int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{32}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

               2. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

               3. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$

                           1. que $u = 8 x$.

                              Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

                              $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du$

                              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$

                                 1. La integral del coseno es seno:

                                    $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                                 Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$

                              Si ahora sustituir $u$ más en:

                              $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                        El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                     1. que $u = 4 x$.

                        Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                           1. La integral del coseno es seno:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

                  El resultado es: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15 x}{256} + \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{256} + \frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{2048}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{5 \cos^{3}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{5 \int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$

               2. que $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

                  Luego que $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

                  1. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6}$

                     El resultado es: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{96} + \frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{32}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{5 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{5 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                     1. que $u = 4 x$.

                        Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                           1. La integral del coseno es seno:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                  El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x}{32} + \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{128}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{32}\, dx = \frac{5 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{32}$

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{64}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{32}\, dx = \frac{x}{32}$

            El resultado es: $\frac{63 x}{256} + \frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{320} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{15 \sin{\left(4 x \right)}}{256} + \frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{2048}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{\cos^{5}{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{5 \cos^{4}{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{5 \cos^{3}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{5 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{1}{32}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos^{5}{\left(2 x \right)}}{32}\, dx = \frac{\int \cos^{5}{\left(2 x \right)}\, dx}{32}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{5}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)}$

               2. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \left(\frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{2} - \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\right)\, du$

                  1. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

                           Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

                           $\int u^{4}\, du$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{5}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{10}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$

                        1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

                           Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

                           $\int u^{2}\, du$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     El resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{320} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{96} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{64}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{5 \cos^{4}{\left(2 x \right)}}{32}\, dx = \frac{5 \int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{32}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

               2. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

               3. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$

                           1. que $u = 8 x$.

                              Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

                              $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du$

                              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$

                                 1. La integral del coseno es seno:

                                    $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                                 Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$

                              Si ahora sustituir $u$ más en:

                              $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                        El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                     1. que $u = 4 x$.

                        Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                           1. La integral del coseno es seno:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

                  El resultado es: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15 x}{256} + \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{256} + \frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{2048}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{5 \cos^{3}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{5 \int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$

               2. que $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

                  Luego que $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

                  1. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6}$

                     El resultado es: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{96} + \frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{32}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{5 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{5 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                     1. que $u = 4 x$.

                        Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                           1. La integral del coseno es seno:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                  El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x}{32} + \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{128}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{32}\, dx = \frac{5 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{32}$

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{64}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{32}\, dx = \frac{x}{32}$

            El resultado es: $\frac{63 x}{256} + \frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{320} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{15 \sin{\left(4 x \right)}}{256} + \frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{2048}$

      Por lo tanto, el resultado es: $63 x + \frac{4 \sin^{5}{\left(2 x \right)}}{5} - 16 \sin^{3}{\left(2 x \right)} + 64 \sin{\left(2 x \right)} + 15 \sin{\left(4 x \right)} + \frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{8}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 640 \cos^{8}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 640 \int \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{8}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{4}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{1}{16}$

      3. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{\int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

            2. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

            3. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$

                        1. que $u = 8 x$.

                           Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$

                              1. La integral del coseno es seno:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                     El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. que $u = 4 x$.

                     Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

               El resultado es: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{128} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$

            2. que $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

               Luego que $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6}$

                  El resultado es: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. que $u = 4 x$.

                     Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$

         El resultado es: $\frac{35 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{7 \sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 175 x + \frac{80 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} - 160 \sin{\left(2 x \right)} - 35 \sin{\left(4 x \right)} - \frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{8}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 560 \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx = 560 \int \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{6}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$

      3. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$

            2. que $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

               Luego que $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6}$

                  El resultado es: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. que $u = 4 x$.

                     Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{16}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$

         El resultado es: $\frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}$

      Por lo tanto, el resultado es: $175 x - \frac{35 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + 140 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{105 \sin{\left(4 x \right)}}{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 196 \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 196 \int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

      3. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. que $u = 4 x$.

                     Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

         El resultado es: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{147 x}{2} - 49 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{49 \sin{\left(4 x \right)}}{8}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 21 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 21 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{21 x}{2} + \frac{21 \sin{\left(2 x \right)}}{4}$

   El resultado es: $\frac{4 \sin^{5}{\left(2 x \right)}}{5} - \sin^{3}{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 \sin^{5}{\left(2 x \right)}}{5} - \sin^{3}{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \sin^{5}{\left(2 x \right)}}{5} - \sin^{3}{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$