Integral de x(sqrt(3-x^2))^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{3 - x^{2}}$.

      Luego que $du = - \frac{x dx}{\sqrt{3 - x^{2}}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- u^{4}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(3 - x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(\sqrt{3 - x^{2}}\right)^{3} = - x^{3} \sqrt{3 - x^{2}} + 3 x \sqrt{3 - x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{3} \sqrt{3 - x^{2}}\right)\, dx = - \int x^{3} \sqrt{3 - x^{2}}\, dx$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(3)*sin(_theta), rewritten=9*sqrt(3)*sin(_theta)**3*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=9*sqrt(3), other=sin(_theta)**3*cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=1, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=4, context=_u**4, symbol=_u), ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=-_u**2, symbol=_u)], context=_u**4 - _u**2, symbol=_u), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)*cos(_theta)**4 + sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)*cos(_theta)**4, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**4, substep=PowerRule(base=_u, exp=4, context=_u**4, symbol=_u), context=_u**4, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**4, symbol=_theta), context=-sin(_theta)*cos(_theta)**4, symbol=_theta), URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta)], context=-sin(_theta)*cos(_theta)**4 + sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)*cos(_theta)**4 + sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)*cos(_theta)**4, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**4, substep=PowerRule(base=_u, exp=4, context=_u**4, symbol=_u), context=_u**4, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**4, symbol=_theta), context=-sin(_theta)*cos(_theta)**4, symbol=_theta), URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta)], context=-sin(_theta)*cos(_theta)**4 + sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta)], context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**3*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=9*sqrt(3)*sin(_theta)**3*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x < sqrt(3)) & (x > -sqrt(3)), context=x**3*sqrt(3 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} 9 \sqrt{3} \left(\frac{\left(9 - 3 x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}{1215} - \frac{\left(9 - 3 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{81}\right) & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x \sqrt{3 - x^{2}}\, dx = 3 \int x \sqrt{3 - x^{2}}\, dx$

         1. que $u = 3 - x^{2}$.

            Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{\sqrt{u}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sqrt{u}\, du = - \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\left(3 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \left(3 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}$

      El resultado es: $- \left(3 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}} - \begin{cases} 9 \sqrt{3} \left(\frac{\left(9 - 3 x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}{1215} - \frac{\left(9 - 3 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{81}\right) & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(\sqrt{3 - x^{2}}\right)^{3} = - x^{3} \sqrt{3 - x^{2}} + 3 x \sqrt{3 - x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{3} \sqrt{3 - x^{2}}\right)\, dx = - \int x^{3} \sqrt{3 - x^{2}}\, dx$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(3)*sin(_theta), rewritten=9*sqrt(3)*sin(_theta)**3*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=9*sqrt(3), other=sin(_theta)**3*cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=1, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=4, context=_u**4, symbol=_u), ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=-_u**2, symbol=_u)], context=_u**4 - _u**2, symbol=_u), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)*cos(_theta)**4 + sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)*cos(_theta)**4, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**4, substep=PowerRule(base=_u, exp=4, context=_u**4, symbol=_u), context=_u**4, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**4, symbol=_theta), context=-sin(_theta)*cos(_theta)**4, symbol=_theta), URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta)], context=-sin(_theta)*cos(_theta)**4 + sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)*cos(_theta)**4 + sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)*cos(_theta)**4, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**4, substep=PowerRule(base=_u, exp=4, context=_u**4, symbol=_u), context=_u**4, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**4, symbol=_theta), context=-sin(_theta)*cos(_theta)**4, symbol=_theta), URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta)], context=-sin(_theta)*cos(_theta)**4 + sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta)], context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**3*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=9*sqrt(3)*sin(_theta)**3*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x < sqrt(3)) & (x > -sqrt(3)), context=x**3*sqrt(3 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} 9 \sqrt{3} \left(\frac{\left(9 - 3 x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}{1215} - \frac{\left(9 - 3 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{81}\right) & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x \sqrt{3 - x^{2}}\, dx = 3 \int x \sqrt{3 - x^{2}}\, dx$

         1. que $u = 3 - x^{2}$.

            Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{\sqrt{u}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sqrt{u}\, du = - \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\left(3 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \left(3 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}$

      El resultado es: $- \left(3 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}} - \begin{cases} 9 \sqrt{3} \left(\frac{\left(9 - 3 x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}{1215} - \frac{\left(9 - 3 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{81}\right) & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(3 - x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(3 - x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}{5}+ \mathrm{constant}$