Integral de e^x((x+1)cos(y)-y(sin(y))) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $e^{x} \left(- y \sin{\left(y \right)} + \left(x + 1\right) \cos{\left(y \right)}\right) = x e^{x} \cos{\left(y \right)} - y e^{x} \sin{\left(y \right)} + e^{x} \cos{\left(y \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int x e^{x} \cos{\left(y \right)}\, dx = \cos{\left(y \right)} \int x e^{x}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\left(x e^{x} - e^{x}\right) \cos{\left(y \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- y e^{x} \sin{\left(y \right)}\right)\, dx = - y \sin{\left(y \right)} \int e^{x}\, dx$

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- y e^{x} \sin{\left(y \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e^{x} \cos{\left(y \right)}\, dx = \cos{\left(y \right)} \int e^{x}\, dx$

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $e^{x} \cos{\left(y \right)}$

   El resultado es: $- y e^{x} \sin{\left(y \right)} + \left(x e^{x} - e^{x}\right) \cos{\left(y \right)} + e^{x} \cos{\left(y \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $\left(x \cos{\left(y \right)} - y \sin{\left(y \right)}\right) e^{x}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\left(x \cos{\left(y \right)} - y \sin{\left(y \right)}\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(x \cos{\left(y \right)} - y \sin{\left(y \right)}\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$