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Resolución de integrales/ cos(t)/ sin(t)/ sin(t)*dt/(1+cos(t))

Integral de sin(t)*dt/(1+cos(t)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  p              
  -              
  3              
  /              
 |               
 |    sin(t)     
 |  ---------- dt
 |  1 + cos(t)   
 |               
/                
p                
-                
2
∫p2p3sin⁡(t)cos⁡(t)+1 dt\int\limits_{\frac{p}{2}}^{\frac{p}{3}} \frac{\sin{\left(t \right)}}{\cos{\left(t \right)} + 1}\, dt 
Integral(sin(t)/(1 + cos(t)), (t, p/2, p/3))
Solución detallada

  1. que u=cos⁡(t)+1u = \cos{\left(t \right)} + 1.

    Luego que du=−sin⁡(t)dtdu = - \sin{\left(t \right)} dt y ponemos −du- du:

    ∫(−1u) du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫1u du=−∫1u du\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

      1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

      Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

    Si ahora sustituir uu más en:

    −log⁡(cos⁡(t)+1)- \log{\left(\cos{\left(t \right)} + 1 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(cos⁡(t)+1)+constant- \log{\left(\cos{\left(t \right)} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(cos⁡(t)+1)+constant- \log{\left(\cos{\left(t \right)} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                   
 |                                    
 |   sin(t)                           
 | ---------- dt = C - log(1 + cos(t))
 | 1 + cos(t)                         
 |                                    
/
∫sin⁡(t)cos⁡(t)+1 dt=C−log⁡(cos⁡(t)+1)\int \frac{\sin{\left(t \right)}}{\cos{\left(t \right)} + 1}\, dt = C - \log{\left(\cos{\left(t \right)} + 1 \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
     /       /p\\      /       /p\\
- log|1 + cos|-|| + log|1 + cos|-||
     \       \3//      \       \2//
−log⁡(cos⁡(p3)+1)+log⁡(cos⁡(p2)+1)- \log{\left(\cos{\left(\frac{p}{3} \right)} + 1 \right)} + \log{\left(\cos{\left(\frac{p}{2} \right)} + 1 \right)} 
=
= 
     /       /p\\      /       /p\\
- log|1 + cos|-|| + log|1 + cos|-||
     \       \3//      \       \2//
−log⁡(cos⁡(p3)+1)+log⁡(cos⁡(p2)+1)- \log{\left(\cos{\left(\frac{p}{3} \right)} + 1 \right)} + \log{\left(\cos{\left(\frac{p}{2} \right)} + 1 \right)} 
-log(1 + cos(p/3)) + log(1 + cos(p/2))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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