Integral de (5-3*x)/sqrt(2*x^2+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{5 - 3 x}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} = - \frac{3 x - 5}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{3 x - 5}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}\right)\, dx = - \int \frac{3 x - 5}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{3 x - 5}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} = \frac{3 x}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} - \frac{5}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 x}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}\, dx = 3 \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}\, dx$

            1. que $u = 2 x^{2} + 1$.

               Luego que $du = 4 x dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{1}{4 \sqrt{u}}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{4}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sqrt{2 x^{2} + 1}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sqrt{2 x^{2} + 1}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{5}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}\right)\, dx = - 5 \int \frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}\, dx$

            1. que $u = \sqrt{2} x$.

               Luego que $du = \sqrt{2} dx$ y ponemos $\frac{\sqrt{2} du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 \sqrt{u^{2} + 1}}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{u^{2} + 1}}\, du = \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du}{2}$

                  InverseHyperbolicRule(func=asinh, context=1/sqrt(_u**2 + 1), symbol=_u)

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 \sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}$

         El resultado es: $\frac{3 \sqrt{2 x^{2} + 1}}{2} - \frac{5 \sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sqrt{2 x^{2} + 1}}{2} + \frac{5 \sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{5 - 3 x}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} = - \frac{3 x}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} + \frac{5}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{3 x}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}\right)\, dx = - 3 \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}\, dx$

         1. que $u = 2 x^{2} + 1$.

            Luego que $du = 4 x dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{1}{4 \sqrt{u}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{4}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sqrt{2 x^{2} + 1}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sqrt{2 x^{2} + 1}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}\, dx = 5 \int \frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}\, dx$

         1. que $u = \sqrt{2} x$.

            Luego que $du = \sqrt{2} dx$ y ponemos $\frac{\sqrt{2} du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 \sqrt{u^{2} + 1}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{u^{2} + 1}}\, du = \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du}{2}$

               InverseHyperbolicRule(func=asinh, context=1/sqrt(_u**2 + 1), symbol=_u)

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}$

      El resultado es: $- \frac{3 \sqrt{2 x^{2} + 1}}{2} + \frac{5 \sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{3 \sqrt{2 x^{2} + 1}}{2} + \frac{5 \sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{3 \sqrt{2 x^{2} + 1}}{2} + \frac{5 \sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$