Integral de 4x^2((√2x^3-8))dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $4 x^{2} \left(\left(\sqrt{2 x}\right)^{3} - 8\right) = 8 \sqrt{2} x^{\frac{7}{2}} - 32 x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 \sqrt{2} x^{\frac{7}{2}}\, dx = 8 \sqrt{2} \int x^{\frac{7}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{7}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 \sqrt{2} x^{\frac{9}{2}}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 32 x^{2}\right)\, dx = - 32 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{32 x^{3}}{3}$

      El resultado es: $\frac{16 \sqrt{2} x^{\frac{9}{2}}}{9} - \frac{32 x^{3}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $4 x^{2} \left(\left(\sqrt{2 x}\right)^{3} - 8\right) = 4 x^{2} \cdot 2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}} - 32 x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{2} \cdot 2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}\, dx = 4 \int 2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}} x^{2}\, dx$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}} x^{2}\, dx = 2 \sqrt{2} \int x^{\frac{3}{2}} x^{2}\, dx$

            1. que $u = x^{\frac{3}{2}}$.

               Luego que $du = \frac{3 \sqrt{x} dx}{2}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

               $\int \frac{2 u^{2}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{2 \int u^{2}\, du}{3}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{9}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{9}{2}}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 \sqrt{2} x^{\frac{9}{2}}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 32 x^{2}\right)\, dx = - 32 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{32 x^{3}}{3}$

      El resultado es: $\frac{16 \sqrt{2} x^{\frac{9}{2}}}{9} - \frac{32 x^{3}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{16 \sqrt{2} x^{\frac{9}{2}}}{9} - \frac{32 x^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{16 \sqrt{2} x^{\frac{9}{2}}}{9} - \frac{32 x^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$