Integral de 5/x^3+root(x,4)+6tg(3x)-1 dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{5}{x^{3}}\, dx = 5 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $- \frac{1}{2 x^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5}{2 x^{2}}$

         El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{5}{2 x^{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 \tan{\left(3 x \right)}\, dx = 6 \int \tan{\left(3 x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\tan{\left(3 x \right)} = \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}$

         2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = \cos{\left(3 x \right)}$.

               Luego que $du = - 3 \sin{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

               $\int \left(- \frac{1}{3 u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3}$

            Método #2

            1. que $u = 3 x$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \cos{\left(u \right)}}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du}{3}$

                  1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

                     Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

                     $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)} - \frac{5}{2 x^{2}}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

   El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - x - 2 \log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)} - \frac{5}{2 x^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - x - 2 \log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)} - \frac{5}{2 x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - x - 2 \log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)} - \frac{5}{2 x^{2}}+ \mathrm{constant}$