Integral de dx/(x(loge(x))^1/3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{x \sqrt[3]{\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}}} = \frac{1}{x \sqrt[3]{\log{\left(x \right)}}}$

   2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{1}{u \sqrt[3]{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u \sqrt[3]{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}\, du = - \int \frac{1}{u \sqrt[3]{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = - \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{2}{3}}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{2}{3}}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 \log{\left(x \right)}^{\frac{2}{3}}}{2}$

      Método #2

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 \log{\left(x \right)}^{\frac{2}{3}}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{x \sqrt[3]{\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}}} = \frac{1}{x \sqrt[3]{\log{\left(x \right)}}}$

   2. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{1}{u \sqrt[3]{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u \sqrt[3]{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}\, du = - \int \frac{1}{u \sqrt[3]{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}\, du$

         1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = - \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{2}{3}}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{2}{3}}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 \log{\left(x \right)}^{\frac{2}{3}}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \log{\left(x \right)}^{\frac{2}{3}}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \log{\left(x \right)}^{\frac{2}{3}}}{2}+ \mathrm{constant}$