Integral de 2(1+2(1-cosx))^2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 2 \left(2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right)^{2}\, dx = 2 \int \left(2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right)^{2}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right)^{2} = 4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 12 \cos{\left(x \right)} + 9$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. que $u = 2 x$.

                     Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 x + \sin{\left(2 x \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 12 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 12 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 12 \sin{\left(x \right)}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 9\, dx = 9 x$

         El resultado es: $11 x - 12 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right)^{2} = 4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 12 \cos{\left(x \right)} + 9$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. que $u = 2 x$.

                     Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 x + \sin{\left(2 x \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 12 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 12 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 12 \sin{\left(x \right)}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 9\, dx = 9 x$

         El resultado es: $11 x - 12 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $22 x - 24 \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $22 x - 24 \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$22 x - 24 \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}$