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Resolución de integrales/ x^(3/2)/ exp(-x)/ (x^(3/2)exp(-x)-3√π/4)^2

Integral de (x^(3/2)exp(-x)-3√π/4)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo                          
  /                          
 |                           
 |                       2   
 |  /               ____\    
 |  | 3/2  -x   3*\/ pi |    
 |  |x   *e   - --------|  dx
 |  \              4    /    
 |                           
/                            
0
∫0∞(x32e−x−3π4)2 dx\int\limits_{0}^{\infty} \left(x^{\frac{3}{2}} e^{- x} - \frac{3 \sqrt{\pi}}{4}\right)^{2}\, dx 
Integral((x^(3/2)*exp(-x) - 3*sqrt(pi)/4)^2, (x, 0, oo))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x32e−x−3π4)2=(−24πx32ex+16x3+9πe2x)e−2x16\left(x^{\frac{3}{2}} e^{- x} - \frac{3 \sqrt{\pi}}{4}\right)^{2} = \frac{\left(- 24 \sqrt{\pi} x^{\frac{3}{2}} e^{x} + 16 x^{3} + 9 \pi e^{2 x}\right) e^{- 2 x}}{16}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−24πx32ex+16x3+9πe2x)e−2x16 dx=∫(−24πx32ex+16x3+9πe2x)e−2x dx16\int \frac{\left(- 24 \sqrt{\pi} x^{\frac{3}{2}} e^{x} + 16 x^{3} + 9 \pi e^{2 x}\right) e^{- 2 x}}{16}\, dx = \frac{\int \left(- 24 \sqrt{\pi} x^{\frac{3}{2}} e^{x} + 16 x^{3} + 9 \pi e^{2 x}\right) e^{- 2 x}\, dx}{16}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (−24πx32ex+16x3+9πe2x)e−2x=−24πx32e−x+16x3e−2x+9π\left(- 24 \sqrt{\pi} x^{\frac{3}{2}} e^{x} + 16 x^{3} + 9 \pi e^{2 x}\right) e^{- 2 x} = - 24 \sqrt{\pi} x^{\frac{3}{2}} e^{- x} + 16 x^{3} e^{- 2 x} + 9 \pi

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−24πx32e−x) dx=−24π∫x32e−x dx\int \left(- 24 \sqrt{\pi} x^{\frac{3}{2}} e^{- x}\right)\, dx = - 24 \sqrt{\pi} \int x^{\frac{3}{2}} e^{- x}\, dx

            UpperGammaRule(a=-1, e=3/2, context=x**(3/2)*exp(-x), symbol=x)

          Por lo tanto, el resultado es: −24π(x(−x−32)e−x−3πerfc⁡(x)4)- 24 \sqrt{\pi} \left(\sqrt{x} \left(- x - \frac{3}{2}\right) e^{- x} - \frac{3 \sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{x} \right)}}{4}\right)

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫16x3e−2x dx=16∫x3e−2x dx\int 16 x^{3} e^{- 2 x}\, dx = 16 \int x^{3} e^{- 2 x}\, dx

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=x3u{\left(x \right)} = x^{3} y que dv⁡(x)=e−2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}.

            Entonces du⁡(x)=3x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. que u=−2xu = - 2 x.

              Luego que du=−2dxdu = - 2 dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

              ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −e−2x2- \frac{e^{- 2 x}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=−3x22u{\left(x \right)} = - \frac{3 x^{2}}{2} y que dv⁡(x)=e−2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}.

            Entonces du⁡(x)=−3x\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 3 x.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. que u=−2xu = - 2 x.

              Luego que du=−2dxdu = - 2 dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

              ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −e−2x2- \frac{e^{- 2 x}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=3x2u{\left(x \right)} = \frac{3 x}{2} y que dv⁡(x)=e−2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}.

            Entonces du⁡(x)=32\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{3}{2}.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. que u=−2xu = - 2 x.

              Luego que du=−2dxdu = - 2 dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

              ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −e−2x2- \frac{e^{- 2 x}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−3e−2x4) dx=−3∫e−2x dx4\int \left(- \frac{3 e^{- 2 x}}{4}\right)\, dx = - \frac{3 \int e^{- 2 x}\, dx}{4}

            1. que u=−2xu = - 2 x.

              Luego que du=−2dxdu = - 2 dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

              ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −e−2x2- \frac{e^{- 2 x}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: 3e−2x8\frac{3 e^{- 2 x}}{8}

          Por lo tanto, el resultado es: −8x3e−2x−12x2e−2x−12xe−2x−6e−2x- 8 x^{3} e^{- 2 x} - 12 x^{2} e^{- 2 x} - 12 x e^{- 2 x} - 6 e^{- 2 x}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫9π dx=9πx\int 9 \pi\, dx = 9 \pi x

        El resultado es: −8x3e−2x−12x2e−2x+9πx−12xe−2x−24π(x(−x−32)e−x−3πerfc⁡(x)4)−6e−2x- 8 x^{3} e^{- 2 x} - 12 x^{2} e^{- 2 x} + 9 \pi x - 12 x e^{- 2 x} - 24 \sqrt{\pi} \left(\sqrt{x} \left(- x - \frac{3}{2}\right) e^{- x} - \frac{3 \sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{x} \right)}}{4}\right) - 6 e^{- 2 x}

      Por lo tanto, el resultado es: −x3e−2x2−3x2e−2x4+9πx16−3xe−2x4−3π(x(−x−32)e−x−3πerfc⁡(x)4)2−3e−2x8- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} + \frac{9 \pi x}{16} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 \sqrt{\pi} \left(\sqrt{x} \left(- x - \frac{3}{2}\right) e^{- x} - \frac{3 \sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{x} \right)}}{4}\right)}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{8}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x32e−x−3π4)2=−3πx32e−x2+x3e−2x+9π16\left(x^{\frac{3}{2}} e^{- x} - \frac{3 \sqrt{\pi}}{4}\right)^{2} = - \frac{3 \sqrt{\pi} x^{\frac{3}{2}} e^{- x}}{2} + x^{3} e^{- 2 x} + \frac{9 \pi}{16}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3πx32e−x2) dx=−3π∫x32e−x dx2\int \left(- \frac{3 \sqrt{\pi} x^{\frac{3}{2}} e^{- x}}{2}\right)\, dx = - \frac{3 \sqrt{\pi} \int x^{\frac{3}{2}} e^{- x}\, dx}{2}

          UpperGammaRule(a=-1, e=3/2, context=x**(3/2)*exp(-x), symbol=x)

        Por lo tanto, el resultado es: −3π(x(−x−32)e−x−3πerfc⁡(x)4)2- \frac{3 \sqrt{\pi} \left(\sqrt{x} \left(- x - \frac{3}{2}\right) e^{- x} - \frac{3 \sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{x} \right)}}{4}\right)}{2}

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x3u{\left(x \right)} = x^{3} y que dv⁡(x)=e−2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}.

        Entonces du⁡(x)=3x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=−2xu = - 2 x.

          Luego que du=−2dxdu = - 2 dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

          ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−2x2- \frac{e^{- 2 x}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=−3x22u{\left(x \right)} = - \frac{3 x^{2}}{2} y que dv⁡(x)=e−2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}.

        Entonces du⁡(x)=−3x\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 3 x.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=−2xu = - 2 x.

          Luego que du=−2dxdu = - 2 dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

          ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−2x2- \frac{e^{- 2 x}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=3x2u{\left(x \right)} = \frac{3 x}{2} y que dv⁡(x)=e−2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}.

        Entonces du⁡(x)=32\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{3}{2}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=−2xu = - 2 x.

          Luego que du=−2dxdu = - 2 dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

          ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−2x2- \frac{e^{- 2 x}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3e−2x4) dx=−3∫e−2x dx4\int \left(- \frac{3 e^{- 2 x}}{4}\right)\, dx = - \frac{3 \int e^{- 2 x}\, dx}{4}

        1. que u=−2xu = - 2 x.

          Luego que du=−2dxdu = - 2 dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

          ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−2x2- \frac{e^{- 2 x}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 3e−2x8\frac{3 e^{- 2 x}}{8}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫9π16 dx=9πx16\int \frac{9 \pi}{16}\, dx = \frac{9 \pi x}{16}

      El resultado es: −x3e−2x2−3x2e−2x4+9πx16−3xe−2x4−3π(x(−x−32)e−x−3πerfc⁡(x)4)2−3e−2x8- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} + \frac{9 \pi x}{16} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 \sqrt{\pi} \left(\sqrt{x} \left(- x - \frac{3}{2}\right) e^{- x} - \frac{3 \sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{x} \right)}}{4}\right)}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{8}

  2. Ahora simplificar:

    (−8x3−12x2+9πxe2x−12x+6π(2x(2x+3)+3πexerfc⁡(x))ex−6)e−2x16\frac{\left(- 8 x^{3} - 12 x^{2} + 9 \pi x e^{2 x} - 12 x + 6 \sqrt{\pi} \left(2 \sqrt{x} \left(2 x + 3\right) + 3 \sqrt{\pi} e^{x} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) e^{x} - 6\right) e^{- 2 x}}{16}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (−8x3−12x2+9πxe2x−12x+6π(2x(2x+3)+3πexerfc⁡(x))ex−6)e−2x16+constant\frac{\left(- 8 x^{3} - 12 x^{2} + 9 \pi x e^{2 x} - 12 x + 6 \sqrt{\pi} \left(2 \sqrt{x} \left(2 x + 3\right) + 3 \sqrt{\pi} e^{x} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) e^{x} - 6\right) e^{- 2 x}}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(−8x3−12x2+9πxe2x−12x+6π(2x(2x+3)+3πexerfc⁡(x))ex−6)e−2x16+constant\frac{\left(- 8 x^{3} - 12 x^{2} + 9 \pi x e^{2 x} - 12 x + 6 \sqrt{\pi} \left(2 \sqrt{x} \left(2 x + 3\right) + 3 \sqrt{\pi} e^{x} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) e^{x} - 6\right) e^{- 2 x}}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                                               
 |                                                    /      ____     /  ___\                       \                                             
 |                      2                        ____ |  3*\/ pi *erfc\\/ x /     ___             -x|                                             
 | /               ____\              -2*x   3*\/ pi *|- -------------------- + \/ x *(-3/2 - x)*e  |        -2*x      2  -2*x    3  -2*x         
 | | 3/2  -x   3*\/ pi |           3*e                \           4                                 /   3*x*e       3*x *e       x *e       9*pi*x
 | |x   *e   - --------|  dx = C - ------- - -------------------------------------------------------- - --------- - ---------- - -------- + ------
 | \              4    /              8                                 2                                   4           4           2         16  
 |                                                                                                                                                
/
∫(x32e−x−3π4)2 dx=C−x3e−2x2−3x2e−2x4+9πx16−3xe−2x4−3π(x(−x−32)e−x−3πerfc⁡(x)4)2−3e−2x8\int \left(x^{\frac{3}{2}} e^{- x} - \frac{3 \sqrt{\pi}}{4}\right)^{2}\, dx = C - \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} + \frac{9 \pi x}{16} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 \sqrt{\pi} \left(\sqrt{x} \left(- x - \frac{3}{2}\right) e^{- x} - \frac{3 \sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{x} \right)}}{4}\right)}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{8}
Simplificar
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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