Integral de t*exp(-t) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - t$.

      Luego que $du = - dt$ y ponemos $du$:

      $\int u e^{u}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- t e^{- t} - e^{- t}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(t \right)} = t$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{- t}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = 1$.

      Para buscar $v{\left(t \right)}$:

      1. que $u = - t$.

         Luego que $du = - dt$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- e^{- t}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- e^{- t}\right)\, dt = - \int e^{- t}\, dt$

      1. que $u = - t$.

         Luego que $du = - dt$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- e^{- t}$

      Por lo tanto, el resultado es: $e^{- t}$

2. Ahora simplificar:

   $- \left(t + 1\right) e^{- t}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \left(t + 1\right) e^{- t}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \left(t + 1\right) e^{- t}+ \mathrm{constant}$