Integral de sin(t)cos(t)+sin(t)cos(t)+cos(2t)-2tsin(2t) dt

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 2 t \sin{\left(2 t \right)}\right)\, dt = - \int 2 t \sin{\left(2 t \right)}\, dt$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 t \sin{\left(2 t \right)}\, dt = 2 \int t \sin{\left(2 t \right)}\, dt$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(t \right)} = t$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = \sin{\left(2 t \right)}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(t \right)}$:

               1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                  Método #1

                  1. que $u = 2 t$.

                     Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del seno es un coseno menos:

                           $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$

                  Método #2

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int 2 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt = 2 \int \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt$

                     1. que $u = \cos{\left(t \right)}$.

                        Luego que $du = - \sin{\left(t \right)} dt$ y ponemos $- du$:

                        $\int \left(- u\right)\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int u\, du = - \int u\, du$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $- \frac{\cos^{2}{\left(t \right)}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{2}{\left(t \right)}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$

               1. que $u = 2 t$.

                  Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

            Método #2

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 t \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt = 2 \int t \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(t \right)} = t$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = 1$.

                  Para buscar $v{\left(t \right)}$:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \sin{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$

                     1. que $u = 2 t$.

                        Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

                           1. La integral del seno es un coseno menos:

                              $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{4}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{4}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{4}$

                  1. que $u = 2 t$.

                     Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{8}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{t \cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- t \cos{\left(2 t \right)} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $t \cos{\left(2 t \right)} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

   1. Integramos término a término:

      1. Integramos término a término:

         1. que $u = \sin{\left(t \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(t \right)} dt$ y ponemos $du$:

            $\int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{2}{\left(t \right)}}{2}$

         1. que $u = \sin{\left(t \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(t \right)} dt$ y ponemos $du$:

            $\int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{2}{\left(t \right)}}{2}$

         El resultado es: $\sin^{2}{\left(t \right)}$

      1. que $u = 2 t$.

         Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

      El resultado es: $\sin^{2}{\left(t \right)} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

   El resultado es: $t \cos{\left(2 t \right)} + \sin^{2}{\left(t \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $t \cos{\left(2 t \right)} + \sin^{2}{\left(t \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$t \cos{\left(2 t \right)} + \sin^{2}{\left(t \right)}+ \mathrm{constant}$