Integral de xsin(πx/k)sin(3πx/k) dx

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 |       /pi*x\    /3*pi*x\   
 |  x*sin|----|*sin|------| dx
 |       \ k  /    \  k   /   
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0

$$\int\limits_{0}^{k} x \sin{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} \sin{\left(\frac{3 \pi x}{k} \right)}\, dx$$

Integral((x*sin((pi*x)/k))*sin(((3*pi)*x)/k), (x, 0, k))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} \sin{\left(\frac{3 \pi x}{k} \right)}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. Hay varias maneras de calcular esta integral.
  Método #1
  1. que $u = \frac{\pi x}{k}$ .
    
    Luego que $du = \frac{\pi dx}{k}$ y ponemos $\frac{du k}{\pi}$ :
    
    $\int \frac{k \sin{\left(u \right)} \sin{\left(3 u \right)}}{\pi}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(3 u \right)} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{k \int \sin{\left(3 u \right)} \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\sin{\left(3 u \right)} \sin{\left(u \right)} = - 4 \sin^{4}{\left(u \right)} + 3 \sin^{2}{\left(u \right)}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 4 \sin^{4}{\left(u \right)}\right)\, du = - 4 \int \sin^{4}{\left(u \right)}\, du$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\sin^{4}{\left(u \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)^{2}$
      
      Hay varias maneras de calcular esta integral.
      
      Método #1
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 u \right)}\, du}{4}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(2 u \right)} = \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(4 u \right)}\, du}{2}$
      
      que $u = 4 u$ .
      
      Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{8} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$
      
      El resultado es: $\frac{3 u}{8} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}$
      
      Método #2
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 u \right)}\, du}{4}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(2 u \right)} = \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(4 u \right)}\, du}{2}$
      
      que $u = 4 u$ .
      
      Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{8} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$
      
      El resultado es: $\frac{3 u}{8} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u}{2} + \sin{\left(2 u \right)} - \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 3 \sin^{2}{\left(u \right)}\, du = 3 \int \sin^{2}{\left(u \right)}\, du$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\sin^{2}{\left(u \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      El resultado es: $\frac{u}{2} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u}{2} - \frac{3 \sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      El resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{k \left(\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}\right)}{\pi}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{k \left(\frac{\sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{8}\right)}{\pi}$
  Método #2
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\sin{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} \sin{\left(\frac{3 \pi x}{k} \right)} = - 4 \sin^{4}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} + 3 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 4 \sin^{4}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{4}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)}\, dx$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\sin^{4}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{2}\right)^{2}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}\, dx}{4}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = \frac{4 \pi x}{k}$ .
      
      Luego que $du = \frac{4 \pi dx}{k}$ y ponemos $\frac{du k}{4 \pi}$ :
      
      $\int \frac{k \cos{\left(u \right)}}{4 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{k \int \cos{\left(u \right)}\, du}{4 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{k \sin{\left(u \right)}}{4 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{k \sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{4 \pi}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{k \sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{8 \pi}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{k \sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{8 \pi} + \frac{x}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{k \sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{32 \pi} + \frac{x}{8}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = \frac{2 \pi x}{k}$ .
      
      Luego que $du = \frac{2 \pi dx}{k}$ y ponemos $\frac{du k}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{k \cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{k \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{k \sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{k \sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{2 \pi}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{k \sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4 \pi}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
      
      El resultado es: $- \frac{k \sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4 \pi} + \frac{k \sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{32 \pi} + \frac{3 x}{8}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{k \sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{\pi} - \frac{k \sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{8 \pi} - \frac{3 x}{2}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 3 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)}\, dx = 3 \int \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)}\, dx$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{2}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = \frac{2 \pi x}{k}$ .
      
      Luego que $du = \frac{2 \pi dx}{k}$ y ponemos $\frac{du k}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{k \cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{k \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{k \sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{k \sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{2 \pi}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{k \sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4 \pi}$
      
      El resultado es: $- \frac{k \sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4 \pi} + \frac{x}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 k \sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4 \pi} + \frac{3 x}{2}$
    El resultado es: $\frac{k \sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4 \pi} - \frac{k \sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{8 \pi}$
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

$\int \frac{k \left(\frac{\sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{8}\right)}{\pi}\, dx = \frac{k \int \left(\frac{\sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{8}\right)\, dx}{\pi}$
1. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}\, dx}{4}$
    1. que $u = \frac{2 \pi x}{k}$ .
      
      Luego que $du = \frac{2 \pi dx}{k}$ y ponemos $\frac{du k}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{k \sin{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
        
        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{k \int \sin{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
        
        La integral del seno es un coseno menos:
        
        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
        
        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{k \cos{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{k \cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{2 \pi}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{k \cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{8 \pi}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}\, dx}{8}$
    1. que $u = \frac{4 \pi x}{k}$ .
      
      Luego que $du = \frac{4 \pi dx}{k}$ y ponemos $\frac{du k}{4 \pi}$ :
      
      $\int \frac{k \sin{\left(u \right)}}{4 \pi}\, du$
      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
        
        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{k \int \sin{\left(u \right)}\, du}{4 \pi}$
        
        La integral del seno es un coseno menos:
        
        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
        
        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{k \cos{\left(u \right)}}{4 \pi}$
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{k \cos{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{4 \pi}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{k \cos{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{32 \pi}$
  El resultado es: $- \frac{k \cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{8 \pi} + \frac{k \cos{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{32 \pi}$
Por lo tanto, el resultado es: $\frac{k \left(- \frac{k \cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{8 \pi} + \frac{k \cos{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{32 \pi}\right)}{\pi}$
Ahora simplificar:

$\frac{k \left(- k \left(8 \sin^{4}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} - 3\right) + 32 \pi x \sin^{3}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{k} \right)}\right)}{32 \pi^{2}}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{k \left(- k \left(8 \sin^{4}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} - 3\right) + 32 \pi x \sin^{3}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{k} \right)}\right)}{32 \pi^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{k \left(- k \left(8 \sin^{4}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} - 3\right) + 32 \pi x \sin^{3}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{k} \right)}\right)}{32 \pi^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                                      /       /2*pi*x\        /4*pi*x\\       /     /4*pi*x\      /2*pi*x\\
                                      |  k*cos|------|   k*cos|------||       |  sin|------|   sin|------||
  /                                   |       \  k   /        \  k   /|       |     \  k   /      \  k   /|
 |                                  k*|- ------------- + -------------|   k*x*|- ----------- + -----------|
 |      /pi*x\    /3*pi*x\            \       8*pi           32*pi    /       \       8             4     /
 | x*sin|----|*sin|------| dx = C - ----------------------------------- + ---------------------------------
 |      \ k  /    \  k   /                           pi                                   pi               
 |                                                                                                         
/

$$\int x \sin{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} \sin{\left(\frac{3 \pi x}{k} \right)}\, dx = C + \frac{k x \left(\frac{\sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{8}\right)}{\pi} - \frac{k \left(- \frac{k \cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{8 \pi} + \frac{k \cos{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{32 \pi}\right)}{\pi}$$

Simplificar

Respuesta [src]

$$0$$

=

$$0$$

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de xsin(πx/k)sin(3πx/k) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #1

Método #2

Método #2