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Resolución de integrales/ xsin(πx/k)sin(3πx/k)

Integral de xsin(πx/k)sin(3πx/k) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  k                           
  /                           
 |                            
 |       /pi*x\    /3*pi*x\   
 |  x*sin|----|*sin|------| dx
 |       \ k  /    \  k   /   
 |                            
/                             
0
∫0kxsin⁡(πxk)sin⁡(3πxk) dx\int\limits_{0}^{k} x \sin{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} \sin{\left(\frac{3 \pi x}{k} \right)}\, dx 
Integral((x*sin((pi*x)/k))*sin(((3*pi)*x)/k), (x, 0, k))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(πxk)sin⁡(3πxk)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} \sin{\left(\frac{3 \pi x}{k} \right)}.

    Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=πxku = \frac{\pi x}{k}.

        Luego que du=πdxkdu = \frac{\pi dx}{k} y ponemos dukπ\frac{du k}{\pi}:

        ∫ksin⁡(u)sin⁡(3u)π du\int \frac{k \sin{\left(u \right)} \sin{\left(3 u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(3u)sin⁡(u) du=k∫sin⁡(3u)sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(3 u \right)} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{k \int \sin{\left(3 u \right)} \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            sin⁡(3u)sin⁡(u)=−4sin⁡4(u)+3sin⁡2(u)\sin{\left(3 u \right)} \sin{\left(u \right)} = - 4 \sin^{4}{\left(u \right)} + 3 \sin^{2}{\left(u \right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−4sin⁡4(u)) du=−4∫sin⁡4(u) du\int \left(- 4 \sin^{4}{\left(u \right)}\right)\, du = - 4 \int \sin^{4}{\left(u \right)}\, du

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                sin⁡4(u)=(12−cos⁡(2u)2)2\sin^{4}{\left(u \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)^{2}

              2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                Método #1

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  (12−cos⁡(2u)2)2=cos⁡2(2u)4−cos⁡(2u)2+14\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{4}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡2(2u)4 du=∫cos⁡2(2u) du4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 u \right)}\, du}{4}

                    1. Vuelva a escribir el integrando:

                      cos⁡2(2u)=cos⁡(4u)2+12\cos^{2}{\left(2 u \right)} = \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

                    2. Integramos término a término:

                      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        ∫cos⁡(4u)2 du=∫cos⁡(4u) du2\int \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(4 u \right)}\, du}{2}

                        1. que u=4uu = 4 u.

                          Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

                          ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                            1. La integral del coseno es seno:

                              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                          Si ahora sustituir uu más en:

                          sin⁡(4u)4\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{4}

                        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4u)8\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}

                      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                      El resultado es: u2+sin⁡(4u)8\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}

                    Por lo tanto, el resultado es: u8+sin⁡(4u)32\frac{u}{8} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫(−cos⁡(2u)2) du=−∫cos⁡(2u) du2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

                    1. que u=2uu = 2 u.

                      Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                      ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                        1. La integral del coseno es seno:

                          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                      Si ahora sustituir uu más en:

                      sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

                    Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2u)4- \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫14 du=u4\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}

                  El resultado es: 3u8−sin⁡(2u)4+sin⁡(4u)32\frac{3 u}{8} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}

                Método #2

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  (12−cos⁡(2u)2)2=cos⁡2(2u)4−cos⁡(2u)2+14\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{4}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡2(2u)4 du=∫cos⁡2(2u) du4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 u \right)}\, du}{4}

                    1. Vuelva a escribir el integrando:

                      cos⁡2(2u)=cos⁡(4u)2+12\cos^{2}{\left(2 u \right)} = \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

                    2. Integramos término a término:

                      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        ∫cos⁡(4u)2 du=∫cos⁡(4u) du2\int \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(4 u \right)}\, du}{2}

                        1. que u=4uu = 4 u.

                          Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

                          ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                            1. La integral del coseno es seno:

                              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                          Si ahora sustituir uu más en:

                          sin⁡(4u)4\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{4}

                        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4u)8\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}

                      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                      El resultado es: u2+sin⁡(4u)8\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}

                    Por lo tanto, el resultado es: u8+sin⁡(4u)32\frac{u}{8} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫(−cos⁡(2u)2) du=−∫cos⁡(2u) du2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

                    1. que u=2uu = 2 u.

                      Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                      ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                        1. La integral del coseno es seno:

                          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                      Si ahora sustituir uu más en:

                      sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

                    Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2u)4- \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫14 du=u4\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}

                  El resultado es: 3u8−sin⁡(2u)4+sin⁡(4u)32\frac{3 u}{8} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}

              Por lo tanto, el resultado es: −3u2+sin⁡(2u)−sin⁡(4u)8- \frac{3 u}{2} + \sin{\left(2 u \right)} - \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫3sin⁡2(u) du=3∫sin⁡2(u) du\int 3 \sin^{2}{\left(u \right)}\, du = 3 \int \sin^{2}{\left(u \right)}\, du

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                sin⁡2(u)=12−cos⁡(2u)2\sin^{2}{\left(u \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫(−cos⁡(2u)2) du=−∫cos⁡(2u) du2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

                  1. que u=2uu = 2 u.

                    Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                    ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                      1. La integral del coseno es seno:

                        ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                      Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                    Si ahora sustituir uu más en:

                    sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2u)4- \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

                El resultado es: u2−sin⁡(2u)4\frac{u}{2} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: 3u2−3sin⁡(2u)4\frac{3 u}{2} - \frac{3 \sin{\left(2 u \right)}}{4}

            El resultado es: sin⁡(2u)4−sin⁡(4u)8\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}

          Por lo tanto, el resultado es: k(sin⁡(2u)4−sin⁡(4u)8)π\frac{k \left(\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}\right)}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        k(sin⁡(2πxk)4−sin⁡(4πxk)8)π\frac{k \left(\frac{\sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{8}\right)}{\pi}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡(πxk)sin⁡(3πxk)=−4sin⁡4(πxk)+3sin⁡2(πxk)\sin{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} \sin{\left(\frac{3 \pi x}{k} \right)} = - 4 \sin^{4}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} + 3 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−4sin⁡4(πxk)) dx=−4∫sin⁡4(πxk) dx\int \left(- 4 \sin^{4}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{4}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            sin⁡4(πxk)=(12−cos⁡(2πxk)2)2\sin^{4}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{2}\right)^{2}

          2. Vuelva a escribir el integrando:

            (12−cos⁡(2πxk)2)2=cos⁡2(2πxk)4−cos⁡(2πxk)2+14\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{2} + \frac{1}{4}

          3. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡2(2πxk)4 dx=∫cos⁡2(2πxk) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}\, dx}{4}

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                cos⁡2(2πxk)=cos⁡(4πxk)2+12\cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{2} + \frac{1}{2}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(4πxk)2 dx=∫cos⁡(4πxk) dx2\int \frac{\cos{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}\, dx}{2}

                  1. que u=4πxku = \frac{4 \pi x}{k}.

                    Luego que du=4πdxkdu = \frac{4 \pi dx}{k} y ponemos duk4π\frac{du k}{4 \pi}:

                    ∫kcos⁡(u)4π du\int \frac{k \cos{\left(u \right)}}{4 \pi}\, du

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      ∫cos⁡(u) du=k∫cos⁡(u) du4π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{k \int \cos{\left(u \right)}\, du}{4 \pi}

                      1. La integral del coseno es seno:

                        ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                      Por lo tanto, el resultado es: ksin⁡(u)4π\frac{k \sin{\left(u \right)}}{4 \pi}

                    Si ahora sustituir uu más en:

                    ksin⁡(4πxk)4π\frac{k \sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{4 \pi}

                  Por lo tanto, el resultado es: ksin⁡(4πxk)8π\frac{k \sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{8 \pi}

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

                El resultado es: ksin⁡(4πxk)8π+x2\frac{k \sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{8 \pi} + \frac{x}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: ksin⁡(4πxk)32π+x8\frac{k \sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{32 \pi} + \frac{x}{8}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−cos⁡(2πxk)2) dx=−∫cos⁡(2πxk) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}\, dx}{2}

              1. que u=2πxku = \frac{2 \pi x}{k}.

                Luego que du=2πdxkdu = \frac{2 \pi dx}{k} y ponemos duk2π\frac{du k}{2 \pi}:

                ∫kcos⁡(u)2π du\int \frac{k \cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=k∫cos⁡(u) du2π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{k \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: ksin⁡(u)2π\frac{k \sin{\left(u \right)}}{2 \pi}

                Si ahora sustituir uu más en:

                ksin⁡(2πxk)2π\frac{k \sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{2 \pi}

              Por lo tanto, el resultado es: −ksin⁡(2πxk)4π- \frac{k \sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4 \pi}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

            El resultado es: −ksin⁡(2πxk)4π+ksin⁡(4πxk)32π+3x8- \frac{k \sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4 \pi} + \frac{k \sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{32 \pi} + \frac{3 x}{8}

          Por lo tanto, el resultado es: ksin⁡(2πxk)π−ksin⁡(4πxk)8π−3x2\frac{k \sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{\pi} - \frac{k \sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{8 \pi} - \frac{3 x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3sin⁡2(πxk) dx=3∫sin⁡2(πxk) dx\int 3 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)}\, dx = 3 \int \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            sin⁡2(πxk)=12−cos⁡(2πxk)2\sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−cos⁡(2πxk)2) dx=−∫cos⁡(2πxk) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}\, dx}{2}

              1. que u=2πxku = \frac{2 \pi x}{k}.

                Luego que du=2πdxkdu = \frac{2 \pi dx}{k} y ponemos duk2π\frac{du k}{2 \pi}:

                ∫kcos⁡(u)2π du\int \frac{k \cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=k∫cos⁡(u) du2π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{k \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: ksin⁡(u)2π\frac{k \sin{\left(u \right)}}{2 \pi}

                Si ahora sustituir uu más en:

                ksin⁡(2πxk)2π\frac{k \sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{2 \pi}

              Por lo tanto, el resultado es: −ksin⁡(2πxk)4π- \frac{k \sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4 \pi}

            El resultado es: −ksin⁡(2πxk)4π+x2- \frac{k \sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4 \pi} + \frac{x}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −3ksin⁡(2πxk)4π+3x2- \frac{3 k \sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4 \pi} + \frac{3 x}{2}

        El resultado es: ksin⁡(2πxk)4π−ksin⁡(4πxk)8π\frac{k \sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4 \pi} - \frac{k \sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{8 \pi}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫k(sin⁡(2πxk)4−sin⁡(4πxk)8)π dx=k∫(sin⁡(2πxk)4−sin⁡(4πxk)8) dxπ\int \frac{k \left(\frac{\sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{8}\right)}{\pi}\, dx = \frac{k \int \left(\frac{\sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{8}\right)\, dx}{\pi}

    1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(2πxk)4 dx=∫sin⁡(2πxk) dx4\int \frac{\sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}\, dx}{4}

        1. que u=2πxku = \frac{2 \pi x}{k}.

          Luego que du=2πdxkdu = \frac{2 \pi dx}{k} y ponemos duk2π\frac{du k}{2 \pi}:

          ∫ksin⁡(u)2π du\int \frac{k \sin{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=k∫sin⁡(u) du2π\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{k \int \sin{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −kcos⁡(u)2π- \frac{k \cos{\left(u \right)}}{2 \pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −kcos⁡(2πxk)2π- \frac{k \cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{2 \pi}

        Por lo tanto, el resultado es: −kcos⁡(2πxk)8π- \frac{k \cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{8 \pi}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(4πxk)8) dx=−∫sin⁡(4πxk) dx8\int \left(- \frac{\sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}\, dx}{8}

        1. que u=4πxku = \frac{4 \pi x}{k}.

          Luego que du=4πdxkdu = \frac{4 \pi dx}{k} y ponemos duk4π\frac{du k}{4 \pi}:

          ∫ksin⁡(u)4π du\int \frac{k \sin{\left(u \right)}}{4 \pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=k∫sin⁡(u) du4π\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{k \int \sin{\left(u \right)}\, du}{4 \pi}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −kcos⁡(u)4π- \frac{k \cos{\left(u \right)}}{4 \pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −kcos⁡(4πxk)4π- \frac{k \cos{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{4 \pi}

        Por lo tanto, el resultado es: kcos⁡(4πxk)32π\frac{k \cos{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{32 \pi}

      El resultado es: −kcos⁡(2πxk)8π+kcos⁡(4πxk)32π- \frac{k \cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{8 \pi} + \frac{k \cos{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{32 \pi}

    Por lo tanto, el resultado es: k(−kcos⁡(2πxk)8π+kcos⁡(4πxk)32π)π\frac{k \left(- \frac{k \cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{8 \pi} + \frac{k \cos{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{32 \pi}\right)}{\pi}

  3. Ahora simplificar:

    k(−k(8sin⁡4(πxk)−3)+32πxsin⁡3(πxk)cos⁡(πxk))32π2\frac{k \left(- k \left(8 \sin^{4}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} - 3\right) + 32 \pi x \sin^{3}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{k} \right)}\right)}{32 \pi^{2}}

  4. Añadimos la constante de integración:

    k(−k(8sin⁡4(πxk)−3)+32πxsin⁡3(πxk)cos⁡(πxk))32π2+constant\frac{k \left(- k \left(8 \sin^{4}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} - 3\right) + 32 \pi x \sin^{3}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{k} \right)}\right)}{32 \pi^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

k(−k(8sin⁡4(πxk)−3)+32πxsin⁡3(πxk)cos⁡(πxk))32π2+constant\frac{k \left(- k \left(8 \sin^{4}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} - 3\right) + 32 \pi x \sin^{3}{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{k} \right)}\right)}{32 \pi^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                      /       /2*pi*x\        /4*pi*x\\       /     /4*pi*x\      /2*pi*x\\
                                      |  k*cos|------|   k*cos|------||       |  sin|------|   sin|------||
  /                                   |       \  k   /        \  k   /|       |     \  k   /      \  k   /|
 |                                  k*|- ------------- + -------------|   k*x*|- ----------- + -----------|
 |      /pi*x\    /3*pi*x\            \       8*pi           32*pi    /       \       8             4     /
 | x*sin|----|*sin|------| dx = C - ----------------------------------- + ---------------------------------
 |      \ k  /    \  k   /                           pi                                   pi               
 |                                                                                                         
/
∫xsin⁡(πxk)sin⁡(3πxk) dx=C+kx(sin⁡(2πxk)4−sin⁡(4πxk)8)π−k(−kcos⁡(2πxk)8π+kcos⁡(4πxk)32π)π\int x \sin{\left(\frac{\pi x}{k} \right)} \sin{\left(\frac{3 \pi x}{k} \right)}\, dx = C + \frac{k x \left(\frac{\sin{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{8}\right)}{\pi} - \frac{k \left(- \frac{k \cos{\left(\frac{2 \pi x}{k} \right)}}{8 \pi} + \frac{k \cos{\left(\frac{4 \pi x}{k} \right)}}{32 \pi}\right)}{\pi}
Simplificar
Respuesta [src] 
0
00 
=
= 
0
00 
0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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