Integral de ((y-19*sqrt(3))/4)^2*(2*sqrt(y)-3*3^(1/4))/((2*(sqrt(3)*sqrt(y)))) dy

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{y}$.

      Luego que $du = \frac{dy}{2 \sqrt{y}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{\sqrt{3} u^{5}}{24} - \frac{3^{\frac{3}{4}} u^{4}}{16} - \frac{19 u^{3}}{4} + \frac{57 \sqrt[4]{3} u^{2}}{8} + \frac{361 \sqrt{3} u}{8} - \frac{1083 \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{16}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\sqrt{3} u^{5}}{24}\, du = \frac{\sqrt{3} \int u^{5}\, du}{24}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} u^{6}}{144}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{3^{\frac{3}{4}} u^{4}}{16}\right)\, du = - \frac{3^{\frac{3}{4}} \int u^{4}\, du}{16}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3^{\frac{3}{4}} u^{5}}{80}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{19 u^{3}}{4}\right)\, du = - \frac{19 \int u^{3}\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{19 u^{4}}{16}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{57 \sqrt[4]{3} u^{2}}{8}\, du = \frac{57 \sqrt[4]{3} \int u^{2}\, du}{8}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{19 \sqrt[4]{3} u^{3}}{8}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{361 \sqrt{3} u}{8}\, du = \frac{361 \sqrt{3} \int u\, du}{8}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{361 \sqrt{3} u^{2}}{16}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(- \frac{1083 \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{16}\right)\, du = - \frac{1083 \cdot 3^{\frac{3}{4}} u}{16}$

         El resultado es: $\frac{\sqrt{3} u^{6}}{144} - \frac{3^{\frac{3}{4}} u^{5}}{80} - \frac{19 u^{4}}{16} + \frac{19 \sqrt[4]{3} u^{3}}{8} + \frac{361 \sqrt{3} u^{2}}{16} - \frac{1083 \cdot 3^{\frac{3}{4}} u}{16}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{3^{\frac{3}{4}} y^{\frac{5}{2}}}{80} + \frac{19 \sqrt[4]{3} y^{\frac{3}{2}}}{8} - \frac{1083 \cdot 3^{\frac{3}{4}} \sqrt{y}}{16} + \frac{\sqrt{3} y^{3}}{144} - \frac{19 y^{2}}{16} + \frac{361 \sqrt{3} y}{16}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\frac{y - 19 \sqrt{3}}{4}\right)^{2} \left(2 \sqrt{y} - 3 \sqrt[4]{3}\right)}{2 \sqrt{3} \sqrt{y}} = - \frac{- 2 \sqrt{3} y^{\frac{5}{2}} + 228 y^{\frac{3}{2}} - 2166 \sqrt{3} \sqrt{y} + 3 \cdot 3^{\frac{3}{4}} y^{2} - 342 \sqrt[4]{3} y + 3249 \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{96 \sqrt{y}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{- 2 \sqrt{3} y^{\frac{5}{2}} + 228 y^{\frac{3}{2}} - 2166 \sqrt{3} \sqrt{y} + 3 \cdot 3^{\frac{3}{4}} y^{2} - 342 \sqrt[4]{3} y + 3249 \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{96 \sqrt{y}}\right)\, dy = - \frac{\int \frac{- 2 \sqrt{3} y^{\frac{5}{2}} + 228 y^{\frac{3}{2}} - 2166 \sqrt{3} \sqrt{y} + 3 \cdot 3^{\frac{3}{4}} y^{2} - 342 \sqrt[4]{3} y + 3249 \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{\sqrt{y}}\, dy}{96}$

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{y}}$.

         Luego que $du = - \frac{dy}{2 y^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{6498 \cdot 3^{\frac{3}{4}} u^{5} - 4332 \sqrt{3} u^{4} - 684 \sqrt[4]{3} u^{3} + 456 u^{2} + 6 \cdot 3^{\frac{3}{4}} u - 4 \sqrt{3}}{u^{7}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{6498 \cdot 3^{\frac{3}{4}} u^{5} - 4332 \sqrt{3} u^{4} - 684 \sqrt[4]{3} u^{3} + 456 u^{2} + 6 \cdot 3^{\frac{3}{4}} u - 4 \sqrt{3}}{u^{7}}\, du = - \int \frac{6498 \cdot 3^{\frac{3}{4}} u^{5} - 4332 \sqrt{3} u^{4} - 684 \sqrt[4]{3} u^{3} + 456 u^{2} + 6 \cdot 3^{\frac{3}{4}} u - 4 \sqrt{3}}{u^{7}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{6498 \cdot 3^{\frac{3}{4}} u^{5} - 4332 \sqrt{3} u^{4} - 684 \sqrt[4]{3} u^{3} + 456 u^{2} + 6 \cdot 3^{\frac{3}{4}} u - 4 \sqrt{3}}{u^{7}} = \frac{6498 \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{u^{2}} - \frac{4332 \sqrt{3}}{u^{3}} - \frac{684 \sqrt[4]{3}}{u^{4}} + \frac{456}{u^{5}} + \frac{6 \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{u^{6}} - \frac{4 \sqrt{3}}{u^{7}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{6498 \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{u^{2}}\, du = 6498 \cdot 3^{\frac{3}{4}} \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6498 \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{u}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{4332 \sqrt{3}}{u^{3}}\right)\, du = - 4332 \sqrt{3} \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2166 \sqrt{3}}{u^{2}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{684 \sqrt[4]{3}}{u^{4}}\right)\, du = - 684 \sqrt[4]{3} \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{228 \sqrt[4]{3}}{u^{3}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{456}{u^{5}}\, du = 456 \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{114}{u^{4}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{6 \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{u^{6}}\, du = 6 \cdot 3^{\frac{3}{4}} \int \frac{1}{u^{6}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6 \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{5 u^{5}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{4 \sqrt{3}}{u^{7}}\right)\, du = - 4 \sqrt{3} \int \frac{1}{u^{7}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{7}}\, du = - \frac{1}{6 u^{6}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sqrt{3}}{3 u^{6}}$

               El resultado es: $- \frac{6498 \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{u} + \frac{2166 \sqrt{3}}{u^{2}} + \frac{228 \sqrt[4]{3}}{u^{3}} - \frac{114}{u^{4}} - \frac{6 \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{5 u^{5}} + \frac{2 \sqrt{3}}{3 u^{6}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6498 \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{u} - \frac{2166 \sqrt{3}}{u^{2}} - \frac{228 \sqrt[4]{3}}{u^{3}} + \frac{114}{u^{4}} + \frac{6 \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{5 u^{5}} - \frac{2 \sqrt{3}}{3 u^{6}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{6 \cdot 3^{\frac{3}{4}} y^{\frac{5}{2}}}{5} - 228 \sqrt[4]{3} y^{\frac{3}{2}} + 6498 \cdot 3^{\frac{3}{4}} \sqrt{y} - \frac{2 \sqrt{3} y^{3}}{3} + 114 y^{2} - 2166 \sqrt{3} y$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3^{\frac{3}{4}} y^{\frac{5}{2}}}{80} + \frac{19 \sqrt[4]{3} y^{\frac{3}{2}}}{8} - \frac{1083 \cdot 3^{\frac{3}{4}} \sqrt{y}}{16} + \frac{\sqrt{3} y^{3}}{144} - \frac{19 y^{2}}{16} + \frac{361 \sqrt{3} y}{16}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\frac{y - 19 \sqrt{3}}{4}\right)^{2} \left(2 \sqrt{y} - 3 \sqrt[4]{3}\right)}{2 \sqrt{3} \sqrt{y}} = - \frac{3^{\frac{3}{4}} y^{\frac{3}{2}}}{32} + \frac{57 \sqrt[4]{3} \sqrt{y}}{16} + \frac{\sqrt{3} y^{2}}{48} - \frac{19 y}{8} + \frac{361 \sqrt{3}}{16} - \frac{1083 \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{32 \sqrt{y}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{3^{\frac{3}{4}} y^{\frac{3}{2}}}{32}\right)\, dy = - \frac{3^{\frac{3}{4}} \int y^{\frac{3}{2}}\, dy}{32}$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{\frac{3}{2}}\, dy = \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3^{\frac{3}{4}} y^{\frac{5}{2}}}{80}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{57 \sqrt[4]{3} \sqrt{y}}{16}\, dy = \frac{57 \sqrt[4]{3} \int \sqrt{y}\, dy}{16}$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{y}\, dy = \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{19 \sqrt[4]{3} y^{\frac{3}{2}}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sqrt{3} y^{2}}{48}\, dy = \frac{\sqrt{3} \int y^{2}\, dy}{48}$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} y^{3}}{144}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{19 y}{8}\right)\, dy = - \frac{19 \int y\, dy}{8}$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{19 y^{2}}{16}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{361 \sqrt{3}}{16}\, dy = \frac{361 \sqrt{3} y}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1083 \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{32 \sqrt{y}}\right)\, dy = - \frac{1083 \cdot 3^{\frac{3}{4}} \int \frac{1}{\sqrt{y}}\, dy}{32}$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{y}}\, dy = 2 \sqrt{y}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1083 \cdot 3^{\frac{3}{4}} \sqrt{y}}{16}$

      El resultado es: $- \frac{3^{\frac{3}{4}} y^{\frac{5}{2}}}{80} + \frac{19 \sqrt[4]{3} y^{\frac{3}{2}}}{8} - \frac{1083 \cdot 3^{\frac{3}{4}} \sqrt{y}}{16} + \frac{\sqrt{3} y^{3}}{144} - \frac{19 y^{2}}{16} + \frac{361 \sqrt{3} y}{16}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{3^{\frac{3}{4}} y^{\frac{5}{2}}}{80} + \frac{19 \sqrt[4]{3} y^{\frac{3}{2}}}{8} - \frac{1083 \cdot 3^{\frac{3}{4}} \sqrt{y}}{16} + \frac{\sqrt{3} y^{3}}{144} - \frac{19 y^{2}}{16} + \frac{361 \sqrt{3} y}{16}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{3^{\frac{3}{4}} y^{\frac{5}{2}}}{80} + \frac{19 \sqrt[4]{3} y^{\frac{3}{2}}}{8} - \frac{1083 \cdot 3^{\frac{3}{4}} \sqrt{y}}{16} + \frac{\sqrt{3} y^{3}}{144} - \frac{19 y^{2}}{16} + \frac{361 \sqrt{3} y}{16}+ \mathrm{constant}$