Integral de cos(x)(1-cos(2x))^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)} = - \cos{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \cos{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(2 x \right)} = 8 \cos^{7}{\left(x \right)} - 12 \cos^{5}{\left(x \right)} + 6 \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 8 \cos^{7}{\left(x \right)}\, dx = 8 \int \cos^{7}{\left(x \right)}\, dx$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{7}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)}$

               2. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

               3. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

                     1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                        Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                        $\int u^{6}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

                     1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                        Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                        $\int u^{4}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

                     1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                        Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                        $\int u^{2}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \sin^{3}{\left(x \right)}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

                  El resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{24 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 8 \sin^{3}{\left(x \right)} + 8 \sin{\left(x \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 12 \cos^{5}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 12 \int \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}$

               2. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

               3. Integramos término a término:

                  1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                     Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                     $\int u^{4}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

                     1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                        Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                        $\int u^{2}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

                  El resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{12 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + 8 \sin^{3}{\left(x \right)} - 12 \sin{\left(x \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 6 \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

               2. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

                  1. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                     El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sin^{3}{\left(x \right)} + 6 \sin{\left(x \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)}$

            El resultado es: $- \frac{8 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{12 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 2 \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{12 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + 2 \sin^{3}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \cos{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx = 3 \int \cos{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)} = 4 \cos^{5}{\left(x \right)} - 4 \cos^{3}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}$

               2. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

               3. Integramos término a término:

                  1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                     Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                     $\int u^{4}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

                     1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                        Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                        $\int u^{2}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

                  El resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{8 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 4 \sin{\left(x \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 4 \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

               2. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

                  1. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                     El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 4 \sin{\left(x \right)}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            El resultado es: $\frac{4 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 4 \sin^{3}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

               2. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

                  1. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                     El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 2 \sin{\left(x \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)}$

            El resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin^{3}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)}$

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{8 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)} = - \cos{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \cos{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(2 x \right)} = 8 \cos^{7}{\left(x \right)} - 12 \cos^{5}{\left(x \right)} + 6 \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 8 \cos^{7}{\left(x \right)}\, dx = 8 \int \cos^{7}{\left(x \right)}\, dx$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{7}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)}$

               2. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

               3. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

                     1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                        Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                        $\int u^{6}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

                     1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                        Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                        $\int u^{4}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

                     1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                        Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                        $\int u^{2}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \sin^{3}{\left(x \right)}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

                  El resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{24 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 8 \sin^{3}{\left(x \right)} + 8 \sin{\left(x \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 12 \cos^{5}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 12 \int \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}$

               2. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

               3. Integramos término a término:

                  1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                     Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                     $\int u^{4}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

                     1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                        Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                        $\int u^{2}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

                  El resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{12 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + 8 \sin^{3}{\left(x \right)} - 12 \sin{\left(x \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 6 \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

               2. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

                  1. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                     El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sin^{3}{\left(x \right)} + 6 \sin{\left(x \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)}$

            El resultado es: $- \frac{8 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{12 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 2 \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{12 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + 2 \sin^{3}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \cos{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx = 3 \int \cos{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)} = 4 \cos^{5}{\left(x \right)} - 4 \cos^{3}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}$

               2. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

               3. Integramos término a término:

                  1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                     Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                     $\int u^{4}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

                     1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                        Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                        $\int u^{2}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

                  El resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{8 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 4 \sin{\left(x \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 4 \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

               2. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

                  1. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                     El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 4 \sin{\left(x \right)}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            El resultado es: $\frac{4 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 4 \sin^{3}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

               2. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

                  1. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                     El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 2 \sin{\left(x \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)}$

            El resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin^{3}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)}$

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{8 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)} = - 8 \cos^{7}{\left(x \right)} + 24 \cos^{5}{\left(x \right)} - 24 \cos^{3}{\left(x \right)} + 8 \cos{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8 \cos^{7}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 8 \int \cos^{7}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{7}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)}$

         2. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

         3. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sin^{3}{\left(x \right)}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            El resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{24 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + 8 \sin^{3}{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 24 \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx = 24 \int \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}$

         2. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

         3. Integramos término a término:

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            El resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{24 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 16 \sin^{3}{\left(x \right)} + 24 \sin{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 24 \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 24 \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

         2. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

               El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8 \sin^{3}{\left(x \right)} - 24 \sin{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 \cos{\left(x \right)}\, dx = 8 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8 \sin{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{8 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{8 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{8 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}+ \mathrm{constant}$