Integral de (x)*exp(t-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x e^{t - x} = x e^{t} e^{- x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int x e^{t} e^{- x}\, dx = e^{t} \int x e^{- x}\, dx$

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- x e^{- x} - e^{- x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\left(- x e^{- x} - e^{- x}\right) e^{t}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x e^{t - x} = x e^{t} e^{- x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int x e^{t} e^{- x}\, dx = e^{t} \int x e^{- x}\, dx$

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- x e^{- x} - e^{- x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\left(- x e^{- x} - e^{- x}\right) e^{t}$

2. Ahora simplificar:

   $- \left(x + 1\right) e^{t - x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \left(x + 1\right) e^{t - x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \left(x + 1\right) e^{t - x}+ \mathrm{constant}$