Integral de (10-x)cosx/2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\left(10 - x\right) \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \left(10 - x\right) \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- u \cos{\left(u \right)} - 10 \cos{\left(u \right)}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int u \cos{\left(u \right)}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- u \sin{\left(u \right)} - \cos{\left(u \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 10 \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - 10 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 10 \sin{\left(u \right)}$

            El resultado es: $- u \sin{\left(u \right)} - 10 \sin{\left(u \right)} - \cos{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- x \sin{\left(x \right)} + 10 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(10 - x\right) \cos{\left(x \right)} = - x \cos{\left(x \right)} + 10 \cos{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- x \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int x \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 10 \cos{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $10 \sin{\left(x \right)}$

         El resultado es: $- x \sin{\left(x \right)} + 10 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

      Método #3

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = 10 - x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\cos{\left(x \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + 5 \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + 5 \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + 5 \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$