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Resolución de integrales/ cosx// (10-x)cosx/2

Integral de (10-x)cosx/2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |  (10 - x)*cos(x)   
 |  --------------- dx
 |         2          
 |                    
/                     
0
∫01(10−x)cos⁡(x)2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(10 - x\right) \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx 
Integral(((10 - x)*cos(x))/2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(10−x)cos⁡(x)2 dx=∫(10−x)cos⁡(x) dx2\int \frac{\left(10 - x\right) \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \left(10 - x\right) \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=−xu = - x.

        Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

        ∫(−ucos⁡(u)−10cos⁡(u)) du\int \left(- u \cos{\left(u \right)} - 10 \cos{\left(u \right)}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−ucos⁡(u)) du=−∫ucos⁡(u) du\int \left(- u \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int u \cos{\left(u \right)}\, du

            1. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=cos⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}.

              Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −usin⁡(u)−cos⁡(u)- u \sin{\left(u \right)} - \cos{\left(u \right)}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−10cos⁡(u)) du=−10∫cos⁡(u) du\int \left(- 10 \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - 10 \int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −10sin⁡(u)- 10 \sin{\left(u \right)}

          El resultado es: −usin⁡(u)−10sin⁡(u)−cos⁡(u)- u \sin{\left(u \right)} - 10 \sin{\left(u \right)} - \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −xsin⁡(x)+10sin⁡(x)−cos⁡(x)- x \sin{\left(x \right)} + 10 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (10−x)cos⁡(x)=−xcos⁡(x)+10cos⁡(x)\left(10 - x\right) \cos{\left(x \right)} = - x \cos{\left(x \right)} + 10 \cos{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−xcos⁡(x)) dx=−∫xcos⁡(x) dx\int \left(- x \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int x \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

            Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −xsin⁡(x)−cos⁡(x)- x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫10cos⁡(x) dx=10∫cos⁡(x) dx\int 10 \cos{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 10sin⁡(x)10 \sin{\left(x \right)}

        El resultado es: −xsin⁡(x)+10sin⁡(x)−cos⁡(x)- x \sin{\left(x \right)} + 10 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}

      Método #3

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=10−xu{\left(x \right)} = 10 - x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=−1\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(x)) dx=−∫sin⁡(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(x)\cos{\left(x \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: −xsin⁡(x)2+5sin⁡(x)−cos⁡(x)2- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + 5 \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −xsin⁡(x)2+5sin⁡(x)−cos⁡(x)2+constant- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + 5 \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xsin⁡(x)2+5sin⁡(x)−cos⁡(x)2+constant- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + 5 \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                     
 |                                                      
 | (10 - x)*cos(x)                     cos(x)   x*sin(x)
 | --------------- dx = C + 5*sin(x) - ------ - --------
 |        2                              2         2    
 |                                                      
/
∫(10−x)cos⁡(x)2 dx=C−xsin⁡(x)2+5sin⁡(x)−cos⁡(x)2\int \frac{\left(10 - x\right) \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = C - \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + 5 \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-510
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1   cos(1)   9*sin(1)
- - ------ + --------
2     2         2
−cos⁡(1)2+12+9sin⁡(1)2- \frac{\cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{9 \sin{\left(1 \right)}}{2} 
=
= 
1   cos(1)   9*sin(1)
- - ------ + --------
2     2         2
−cos⁡(1)2+12+9sin⁡(1)2- \frac{\cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{9 \sin{\left(1 \right)}}{2} 
1/2 - cos(1)/2 + 9*sin(1)/2
Respuesta numérica [src] 
4.01646827870146
4.01646827870146

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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